Kezdőlap


Feladat:	Gy.2509	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1989/április, 170. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Geometriai egyenlőtlenségek, Egyenlőtlenségek, Háromszögek nevezetes tételei, Indirekt bizonyítási mód, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/október: Gy.2509

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítás igaz, és ezt indirekt úton bizonyítjuk be.
Tegyük fel, hogy az $A B C D$ tetraéder semelyik csúcsából kiinduló élekből sem szerkeszthető háromszög. Válasszuk a csúcsok betűzését úgy, hogy $A B$ a tetraéder (egyik) leghosszabb éle legyen. Mivel az $A B, A C$ és $A D$ élekből nem szerkeszthető háromszög, ezért közülük a legnagyobb (azaz $A B$ ) legalább akkora, mint a másik kettő összege:

\begin{matrix} A B \geq A D + A C . \end{matrix}

(1)

Ugyanígy kapjuk, hogy

\begin{matrix} A B \geq B D + B C . \end{matrix}

(2)

(1)-et és (2)-t összeadva:

\begin{matrix} 2 A B \geq A D + B D + A C + B C . \end{matrix}

(3)

Viszont az

A B C

és az

A B D

háromszögekben a háromszög-egyenlőtlenség szerint

\begin{matrix} A B & < A C + B C, \\ A B & < A D + B D; \end{matrix}

ezeket összeadva:

\begin{matrix} 2 A B < A D + B D + A C + B C . \end{matrix}

(4)

Látható, hogy (3) és (4) ellentmond egymásnak, tehát indirekt feltevésünk hibás. Ezzel beláttuk, hogy az eredeti állítás igaz.