Kezdőlap


Feladat:	Gy.2507	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Barkóczi Gábor
Füzet:	1989/március, 117 - 118. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középpontos tükrözés, Súlyvonal, Terület, felszín, Négyszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/október: Gy.2507

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a tükörképeket rendre $A'$ , $B'$ , $C'$ , $D'$ -vel. Az $A B C D$ négyszög konvexitásából következik, hogy az $A' B' C' D'$ négyszög is konvex, és tartalmazza az $A B C D$ négyszöget. Osszuk részekre az $A' B' C' D'$ négyszöget az ábrán látható módon.

A B

szakasz súlyvonal a

D B D'

háromszögben, ezért annak területét két egyenlő részre osztja:

\begin{matrix} T_{A B D} = T_{A B D'} . \end{matrix}

D' B

súlyvonal az

A A' D'

háromszögben, ezért

\begin{matrix} T_{A B D'} = T_{D' B A'}, \end{matrix}

így

\begin{matrix} T_{A A' D'} = 2 \cdot T_{A B D} . \end{matrix}

Ugyanígy láthatjuk be, hogy:

\begin{matrix} T_{B B' A'} = 2 \cdot T_{A B C}, \\ T_{C B' C'} = 2 \cdot T_{C D B}, \\ T_{D C' D'} = 2 \cdot T_{C D A} . \end{matrix}

Ezeket felhasználva

\begin{matrix} T_{A' B' C' D'} = T_{A A' D'} + T_{B B' A'} + T_{C B' C'} + T_{D C' D'} + T_{A B C D} = \\ = 2 (T_{A B D} + T_{A B C} + T_{C D B} + T_{C D A}) + T_{A B C D} = \\ = 2 ((T_{A B D} + T_{B C D} + (T_{A B C} + T_{C D A})) + T_{A B C D} = \\ = 2 (T_{A B C D} + T_{A B C D}) + T_{A B C D} = 5 \cdot T_{A B C D} . \end{matrix}

Tehát a tükörpontok által meghatározott négyszög területe az eredeti négyszög területének az ötszöröse, azaz

5

egység.

Barkóczi Gábor (Fonyód, Karikás F. Gimn., I. o. t.)