Feladat: Gy.2506 Korcsoport: 14-15 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1989/március, 117. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Derékszögű háromszögek geometriája, Hozzáírt körök, Hossz, kerület, Síkgeometriai számítások trigonometria nélkül négyszögekben, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/október: Gy.2506

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy a fenti tulajdonsággal éppen a derékszögű háromszögek rendelkeznek.

 
 

Érintse az O középpontú, s sugarú kör a 2s kerületű ABC háromszög oldalegyeneseit a D, E és F pontokban. Mivel egy külső pontból egy körhöz húzott két érintőszakasz egyenlő, ezért BD=BE és CF=CE. Ennek alapján

AD+AF=(AB+BD)+(AC+CF)==AB+BE+(AC+CE)=2s.


Hasonló okból azonban AD=AF, így mindkettő megegyezik a háromszög kerületének a felével. Ily módon az ADOF négyszög valamennyi oldala s hosszúságú, vagyis a négyszög rombusz. Az ADO és OFA szögek derékszögek, hiszen a kör érintője merőleges az érintési ponthoz tartozó sugárra. Rombuszunk tehát négyzet, ezért az AFC háromszögben az A csúcsnál derékszög van.
Megfordítva: ha az ABC háromszög derékszögű, akkor az ADOF négyszögben három derékszög is van (FAD∢, ADO∢, OFA∢), továbbá a négyszög két szomszédos oldala (AD és AF) egyenlő, így a négyszög négyzet. Ennek minden oldala egyenlő, tehát a hozzáírt kör sugara:
OF=AF=s.