Kezdőlap


Feladat:	Gy.2495	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1989/január, 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Elsőfokú diofantikus egyenletek, Egyenlőtlenségek, Tizes alapú számrendszer, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/szeptember: Gy.2495

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Azt állítjuk, hogy ha létezik ilyen szám, akkor az legfeljebb háromjegyű lehet. Egy $n$ -jegyű $A$ szám jegyeinek az összege ugyanis legfeljebb $9 n$ , másrészt $A \geq 10^{n - 1}$ , így ha $A$ -ra teljesül a feltétel, akkor

\begin{matrix} 10^{n - 1} \leq A \leq 19 \cdot 9 n < 200 n, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} 10^{n - 3} < 2 n, \end{matrix}

ami csak

n = 1

-re,

n = 2

-re és

n = 3

-ra igaz.
A háromjegyű

a b c

számra feltételünk azt jelenti, hogy

\begin{matrix} a \cdot 10^{2} + b \cdot 10 + c = 19 (a + b + c), \end{matrix}

ahonnan rendezés után

\begin{matrix} 81 a - 9 b - 18 c = 0, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 9 a - b - 2 c = 0. \end{matrix}

(1)

a b c

szám tehát pontosan akkor lesz 19-szer akkora, mint a jegyeinek összege, ha a számjegyeire teljesül (1). Mivel

b + 2 c \leq 27

, ezért (1)-ből

9 a \leq 27

, azaz

a

legfeljebb 3. Ha

a = 3

, akkor (1)-ből

\begin{matrix} b + 2 c = 27, \end{matrix}

(2)

ami csak a

b = c = 9

esetben teljesülhet. Így legnagyobbként a 399-et kapjuk, amelyre (1) szerint teljesül a feltétel.
A keresett szám tehát a 399.