Kezdőlap


Feladat:	Gy.2493	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1989/január, 24 - 26. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szabályos sokszög alapú gúlák, Gúlák, Térfogat, Szabályos testek, Térelemek és részeik, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/május: Gy.2493

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a tetraéder csúcsait $A$ , $B$ , $C$ , $D$ -vel, középpontját pedig $O$ -val. Az élfelező merőleges síkok azokat a pontokat tartalmazzák, amelyek a kiválasztott él két végpontjától egyenlő távolságra vannak. Mivel $O A = O B = O C = O D$ , ezért mindegyik élfelező merőleges sík átmegy az $O$ ponton. Tetraéderünk minden éle egyenlő, ezért mindegyik élfelező merőleges sík átmegy a szemben fekvő él két végpontján is ‐ pl. az $A B$ élfelező merőleges síkja $C$ -n és $D$ -n ‐, azaz tartalmazza a szemben fekvő élt. Tehát az élfelező merőleges síkok megegyeznek azokkal a síkokkal, amelyek átmennek a tetraéder középpontján és tartalmazzák egy-egy élét (1. ábra).

1. ábra

A szabályos tetraéder szimmetriája miatt elegendő megvizsgálnunk, hogy ezek a síkok milyen részekre osztják az

A B C O

gúlát, mert ugyanilyen részek keletkeznek a

B C D O

A B D O

és

A C D O

gúlákban is. A hat élfelező merőleges sík közül három ‐

A B O

B C O

és

C A O

‐ nem metsz bele az

A B C O

gúlába, hanem megegyezik annak egy-egy lapsíkjával. A másik három sík viszont ‐ ezek éppen az

A B

B C

és

C A

élek felező merőleges síkjai ‐ belemetsz a gúlába. Ezen síkok mindegyike átmegy

O

-n, az

A B C

háromszög egyik csúcsán, valamint a csúccsal szemközti él felezőpontján. A síkok tehát az

A B C

háromszöget a 2. ábrán látható módon 6 db egybevágó kis háromszögre osztják. Ezért a síkok az

A B C O

gúlát 6 db egybevágó gúlára bontják. Mindegyik gúlának csúcsa az

O

pont, ezzel szemközti lapja pedig az iménti kis háromszögek egyike.

2. ábra

Ily módon az

A B C D

tetraédert az élfelező merőleges síkok

4 \cdot 6 = 24

db egybevágó gúlára vágják szét. Mivel az egységnyiélű szabályos tetraéder térfogata

\frac{\sqrt[]{2}}{12}

, ezért az egyes részek térfogata:

\frac{\sqrt[]{2}}{12} \cdot \frac{1}{24} = \frac{\sqrt[]{2}}{288}