Feladat: Gy.2488 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1988/december, 456 - 457. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Azonosságok, Logikai feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/május: Gy.2488

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az állítás igaz. Megmutatjuk, hogy a megadott feltétel, x+y++z=1x+1y+1z=0 egyetlen valós  (x,y,z) számhármasra sem teljesül, a kimondott állításra nincs ellenpélda, így az igaz.
Ha ugyanis a feltételben álló törtek értelmesek, akkor x,y és z egyike sem 0. xyz-vel megszorozva (1) második egyenlőségét

yz+zx+xy=0(3)
adódik. Az x+y+z=0 összefüggésből négyzetre emeléssel kapjuk, hogy
0=(x+y+z)2=x2+y2+z2+2(xy+yz+zx).
Itt a jobb oldalon az összeg második tagja (3) szerint ugyancsak nulla; így ha az x,y,z valós számokra fennáll (1), akkor x2+y2+z2=0. Ez viszont pontosan akkor teljesül, ha x=y=z=0, ami viszont lehetetlen.
 

Megjegyzések: 1. A feladat egyik tanulsága, hogy hamis feltételből bármi következik. Erről és még sok egyéb logikai rejtvényről, feladatról olvashatunk Raymond Smullyan: Mi a címe ennek a könyvnek? című könyvében (Műszaki Könyvkiadó, 1988).
2. Ha a feladatban nem kötjük ki, hogy x,y és z valósak legyenek, akkor könnyen látható, hogy (1) pontosan akkor teljesül, ha x,y és z nullától különböző komplex szám három köbgyöke. Ekkor viszont a (2) egyenlőség két oldalán álló mennyiségek értéke is nulla, a feladat állítása tehát ilyenkor is igaz ‐ bár más okokból.