A szóban forgó számokat úgy állíthatjuk elő, hogy kiválasztjuk azt az egyetlen számjegyet, amelyik kétszer fordul elő ‐ ezt 7-féleképpen tehetjük meg ‐, és az így kapott 8 számjegyet minden lehetséges módon sorbarakjuk. Nyolc elem 8!-féle sorrendje a tényleges lehetőségek számának a kétszerese, hiszen a két egyenlő számjegyet felcserélve ugyanahhoz a 8 jegyű számhoz jutunk. Így összesen $7\cdot \frac{8\text{!}}{2}$ olyan 8-jegyű szám van, amelyik csak az 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 számjegyekből áll és e jegyek mindegyikét legalább egyszer tartalmazza.
A számok összegének kiszámolásához gondoljuk meg, hogy a nyolc lehetséges helyiérték bármelyikét rögzítve, minden egyes számjegy ugyanannyiszor fordul elő ezen a helyen, hiszen a számjegyek egymáshoz képest nincsenek kitüntetve. Minden egyes számjegy tehát $7\cdot \frac{8\text{!}}{2}/7=\frac{8\text{!}}{2}$ darab számban fordul elő az $i$-edik helyen, $i=\mathrm{1,2,3,4,5,6,7,8}$. A számok összegét ezután helyiértékenként számolva ki a keresett $S$ összeg