Kezdőlap


Feladat:	Gy.2479	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1988/november, 388. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Függvényvizsgálat, Számhalmazok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/április: Gy.2479

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldás. Legyen $a_{1}, a_{2}, ..., a_{11}$ a $11$ szám, és jelöljük a négyzetösszegüket $Q$ -val. A feltétel szerint

\begin{matrix} a_{i} = Q - a_{i}^{2} (i = 1, 2, ..., 11), \end{matrix}

azaz valamennyi

i

-re

\begin{matrix} a_{i} + a_{i}^{2} = Q . \end{matrix}

f (x) = x + x^{2}

függvény azonban nemnegatív

x

-ekre szigorúan monoton, így

a_{1} + a_{1}^{2} = ... = a_{11} + a_{11}^{2}

esetén szükségképpen

a_{1} = a_{2} = ... = a_{11}

.
Jelöljük az

a_{i}

számok közös értékét

a

-val, ekkor a feltétel szerint

a = 10 a^{2}

, ezért

a = \frac{1}{10}

. Tehát a

11

szám mindegyike

\frac{1}{10}

Megjegyzések. 1. Ha

n + 1

pozitív szám mindegyike a további

n

négyzetösszege, akkor ugyanígy kapjuk, hogy valamennyi szám

\frac{1}{n}

.
2. A feladatban nem igazán lényeges megkövetelni, hogy mindegyik szám pozitív legyen, hiszen valós számok négyzetösszegei lévén legalábbis nemnegatívok. Így ebben az esetben vagy mindegyik szám

\frac{1}{10}

, vagy valamennyi

0