Feladat: Gy.2477 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: nehéz
Füzet: 1988/december, 451 - 452. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Kocka, Hossz, kerület, Szimmetrikus sokszögek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/március: Gy.2477

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A kockát hatszögben metsző síknak a kocka minden lapját metszenie kell. Ugyanakkor a sík egyik lapnak sem metszheti két átellenes élét, mivel akkor az adott laphoz a másik két élben csatlakozó lapok közül az egyiket nem metszené. A sík metszetvonala tehát minden lapon szomszédos éleket metsz. Így a kocka palástja kiteríthető az ábrán látható módon úgy, hogy a metszetvonalnak a P'ésP'' pontok közti töröttvonal feleljen meg. Ez a töröttvonal nyilván akkor a legrövidebb, ha megegyezik a P'P'' szakasszal. Most már csak azt kell megvizsgálnunk, hogy az ennek megfelelő hatszög síkhatszög-e.

 
 

 
 

Megmutatjuk, hogy ez a hatszög (a P pont helyzetétől függetlenül) valóban síkhatszög. A szerkesztésből következően a hatszög minden egyes oldala párhuzamos a kocka egy-egy lapátlójával (a kiterítésnél ugyanis a P'P'' egyenes minden éllel 45∘-os szöget zár be); az ábra jelöléseit használva, az egyes élek rendre az AF,BG,FH,GD,HA és BD lapátlókkal párhuzamosak. Az AF,FH és HA, illetve a BG,GD és DB lapátlók két párhuzamos síkot határoznak meg, mégpedig olyan síkokat, amelyek merőlegesek a kocka CE testátlójára. (Ennek az ismert állításnak a bizonyítása megtalálható pl. a "Geometriai feladatok gyűjteménye I.'' 1849. feladatának megoldásában.) Ily módon hatszögünk minden éle párhuzamos e két sík valamelyikével, ami csak úgy lehet, ha a hatszög síkhatszög, és síkja párhuzamos ezekkel a síkokkal. A hatszög síkja így szintén merőleges a CE testátlóra.
A minimális kerületű hatszögmetszetet tehát olyan sík adja, amely merőleges arra a testátlóra, amely az adott pontot tartalmazó lap ponttal szemközti élének egyik végpontjából indul ki.
 

Megjegyzés. Mivel a feltételeknek két testátló is megfelel, ezért minimális kerületű hatszög is kettő van. Az ábránkon láthatótól különbözőt akkor kapjuk, ha a P pontból nem a BF, hanem az AE él felé indulunk el.