A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy . Tudjuk, hogy minden szabályos sokszög körbe írható. Tekintsük az -szög és az -szögek köré írható köröket. Az -szögeknek a -szög csúcsaitól különböző csúcsai rajta vannak az -szög köré írt körön, és rajta vannak valamelyik -szög köré írt körön is. E körök nyilván különbözőek, így legfeljebb két közös pontjuk van. Az -szögeknek ezért legfeljebb két olyan csúcsuk van, ami a -szögnek nem csúcsa, azaz
1. ábra Ha , akkor nyilván . Ekkor a -szög középpontja körüli szögű elforgatás az alakzatot önmagába viszi, így az szabályos (1. ábra); tehát tetszőleges (2-nél nagyobb egész szám) lehet.
2. ábra esetén legyen és a -szög egymás utáni csúcsa, pedig az és oldalak fölé szerkesztett négyzetek további csúcsai (2.ábra). Az -szög csak akkor lehet szabályos, ha . De és , így egyenlőoldalú háromszög. Ennek alapján kiszámíthatjuk a -szög egyik szögét: ; tehát a -szög csak hatszög lehet. Ha pedig egy szabályos hatszög oldalaira kifelé négyzeteket írunk, akkor a négyzeteknek a hatszög csúcsaitól különböző csúcsai egy olyan tizenkétszöget alkotnak, amelynek minden oldala egyenlő, és minden szöge -os (3. ábra), ezért ez a tizenkétszög valóban szabályos.
3. ábra A számok lehetséges értékei tehát : , ahol tetszőleges 2-nél nagyobb szám, vagy
Keresztély Tibor (Budapest, Árpád Gimn., I. o. t.) dolgozata alapján |