Kezdőlap


Feladat:	Gy.2474	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1988/november, 387 - 388. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Síkgeometriai szerkesztések, Középpontos tükrözés, Súlyvonal, Körülírt kör, Diszkusszió, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/március: Gy.2474

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük az $A E B$ háromszög köré írt kört $k_{1}$ -gyel, az $A E C$ háromszög köré írt kört pedig $k_{2}$ -vel. Mivel $E$ oldalfelezőpont, ezért $B$ -nek $E$ -re vonatkozó tükörképe $C$ . A $B$ pont rajta van a $k_{1}$ körön, $E$ -re vonatkozó tükörképe tehát rajta van a $k_{1}$ kör $E$ -re vonatkozó $k'_{1}$ tükörképén. Vagyis a $C$ pont éppen $k'_{1}$ és $k_{2}$ ‐ $E$ -től különböző közös pontja.
Ezek alapján a szerkesztés a következő: Megszerkesztjük az adott sugarú $k_{1}$ , $k_{2}$ köröket úgy, hogy közös húrjuk a megfelelő $A E$ szakasz legyen. (Ezt általában kétféleképpen tehetjük, aszerint, hogy a körök középpontjai $A E$ -nek ugyanazon, vagy pedig különböző oldalára kerülnek.) Ezután $k_{1}$ -et tükrözzük $E$ -re, az így kapott $k'_{1}$ és $k_{2}$ másik metszéspontja $C$ , végül $C$ -nek $E$ -re vonatkozó tükörképe lesz a háromszög harmadik csúcsa, $B$ .

Az előzőekben leírtak miatt az így kapott

A B C

háromszög eleget tesz a feltételeknek. A jobb oldali ábrán a két kör középpontja

A E

-nek ugyanazon a partján van.
A feladatnak nincs megoldása, ha az adott sugarak valamelyike kisebb mint

\frac{A E}{2}

, vagy mindkettő éppen

\frac{A E}{2}

. Egy megoldás van, ha az egyik sugár

\frac{A E}{2}

(ekkor az ehhez tartozó kör középpontja illeszkedik az

A E

szakaszra), a másik pedig ennél nagyobb, továbbá akkor, ha a két sugár egyenlő és mindkettő nagyobb, mint

\frac{A E}{2}

.
Minden más esetben két megoldás van.