Kezdőlap


Feladat:	Gy.2472	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1988/december, 448. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egészrész, törtrész függvények, Kombinatorikai leszámolási problémák, Természetes számok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/március: Gy.2472

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen $f (x) = [x] + [2 x] + [4 x] + [8 x]$ . Mivel $x = [x] + {x},$ ezért tetszőleges $n$ egészre

\begin{matrix} [n x] = [n [x] + n {x}] = n [x] + [n {x}], \end{matrix}

így

\begin{matrix} f (x) = 15 [x] + f ({x}) . \end{matrix}

Vizsgáljuk meg, milyen értéket vesz föl

f

[0, 1)

intervallumban! Könnyen látható, hogy

f (x)

ekkor csak attól függ, hogy

x

a nyolc egyenlő részre osztott intervallum melyik részébe esik. A függvényértékeket a következő táblázatba foglalhatjuk össze:

\begin{matrix} \begin{matrix} x ϵ & [0, \frac{1}{8}) & [\frac{1}{8}, \frac{2}{8}) & [\frac{2}{8}, \frac{3}{8}) & [\frac{3}{8}, \frac{4}{8}) & [\frac{4}{8}, \frac{5}{8}) & [\frac{5}{8}, \frac{6}{8}) & [\frac{6}{8}, \frac{7}{8}) & [\frac{7}{8}, 1) \\ f (x) & 0 & 1 & 3 & 4 & 7 & 8 & 10 & 11 \end{matrix} \end{matrix}

f

függvény értékkészlete tehát pontosan az

15 k + r

alakú számokból áll, ahol

k

egész,

r

pedig a

0, 1, 3, 4, 7, 8, 10, 11

számok valamelyike.
Mivel

| r | < 15

, ezért az ilyen számok csak egyféleképpen írhatók ebbe az alakba; így azt kell összeszámlálnunk, hogy hány ilyen

(k, r)

számpárra teljesül

\begin{matrix} 1 ≦ 15 k + r ≦ 1988. \end{matrix}

1988 = 132 \cdot 15 + 8

, így

0 ≦ k ≦ 132

. Ha

1 ≦ k ≦ 131

, akkor

r

-nek mind a 8-féle értéke megfelelő;

k = 0

-ra csupán

r = 0, k = 132

-re pedig csak

r = 10

és

r = 11

mellett kapunk az

[1, 1988]

intervallumon kívül eső számot. Az

f

függvénynek tehát

133 \cdot 8 - 3 = 1061

értéke van 1 és 1988 között.