Kezdőlap


Feladat:	Gy.2471	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1988/november, 386 - 387. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Logikai feladatok, Nevezetes azonosságok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/március: Gy.2471

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Akár az egyes játékosok által megnyert, akár pedig az elvesztett játszmák számát adjuk össze, eredményül a lejátszott mérkőzések számát kapjuk; ezért

\begin{matrix} 0 = (x_{1} + x_{2} + ... + x_{10}) - (y_{1} + y_{2} + ... + y_{10}) = (x_{1} - y_{1}) + (x_{2} - y_{2}) + \\ + ... + (x_{10} - y_{10}) . \end{matrix}

Mindenki egyformán

9

mérkőzést játszott, tehát

\begin{matrix} x_{1} + y_{1} = x_{2} + y_{2} = ... = x_{10} + y_{10} = 9. \end{matrix}

Ezzel a közös értékkel az előbbi egyenlőséget beszorozva,

\begin{matrix} 0 = 9 (x_{1} - y_{1}) + 9 (x_{2} - y_{2}) + ... + 9 (x_{10} - y_{10}) = \\ = (x_{1} + y_{1}) (x_{1} - y_{1}) + (x_{2} + y_{2}) (x_{2} - y_{2}) + ... + (x_{10} + y_{10}) (x_{10} - y_{10}) = \\ = (x_{1}^{2} - y_{1}^{2}) + (x_{2}^{2} - y_{2}^{2}) + ... + (x_{10}^{2} - y_{10}^{2}), \end{matrix}

ahonnan rendezés után éppen a bizonyítandó összefüggést kapjuk.

Megjegyzés. Ugyanígy bizonyítható a megfelelő állítás

10

helyett tetszőleges számú résztvevővel is.