Kezdőlap


Feladat:	Gy.2469	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Pór Attila
Füzet:	1988/november, 386. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Derékszögű háromszögek geometriája, Kocka, Testek szinezése, Konstruktív megoldási módszer, Ellenpélda, mint megoldási módszer a matematikában, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/február: Gy.2469

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az a) kérdésre a válasz igen, a b) kérdésre pedig nem.
Mivel a kockának nyolc csúcsa van, ezért akárhogyan is festjük ki a kocka pontjait $3$ színnel, biztosan lesz három azonos színű csúcs. Három csúcs között mindig található kettő, amely nem egy élen helyezkedik el. Két, nem egy élen elhelyezkedő csúcs távolsága viszont legalább $\sqrt[]{2}$ (a kocka lapátlójának hossza), tehát nagyobb, mint $1,4$ .

Most megadunk egy olyan színezést, melynél bármely két egyszínű pont távolsága

1,5

-nél kisebb. Osszuk fel a kockát egyik lapjával párhuzamos síkokkal

3

db egybevágó négyzetalapú hasábra. Ezután a három hasábot színezzük ki, úgy, hogy egy színnel pontosan egy részt fessünk ki. (A két felosztó sík pontjai a középső hasáb színét kapják.) Ekkor két egyszínű pont között a legnagyobb távolság a négyzetalapú hasáb testátlójának a hosszúsága, amely Pitagorasz-tétel alapján:

\begin{matrix} d = \sqrt[]{{(\frac{1}{3})}^{2} + {(\sqrt[]{2})}^{2}} = \sqrt[]{\frac{19}{9}} < \frac{3}{2}, mert \frac{19}{9} < \frac{9}{4} . \end{matrix}

Pór Attila (Budapest, Tanítóképző Főisk. Gyak. Ált. Isk., 8. o. t.)
dolgozata alapján