Feladat: Gy.2468 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1988/november, 384 - 385. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Merőleges affinitás, Magasságvonal, Terület, felszín, Egyéb sokszögek geometriája, Vektorok vektoriális szorzata, Szabályos sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/február: Gy.2468

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyenek az ötszög csúcsai A, B, C, D, E, és tegyük fel, hogy AB||CE, BC||DA, CD||BE és DE||CA. Ekkor azt kell megmutatnunk, hogy EA||DB.

 
 

Mivel AB párhuzamos CE-vel, ezért ABE és ABC háromszögek AB oldalhoz tartozó magasságai egyenlőek, így e két háromszögnek a területe is egyenlő. Ugyanígy látható be az is, hogy az ABC háromszög területe megegyezik a BCD háromszög területével, BCD területe megegyezik CDE területével, a CDE háromszög területe pedig megegyezik a DEA háromszög területével. Ebből következik, hogy az ABE és a DEA háromszögek területe is egyenlő. Mivel a két háromszög AE oldala közös, ezért az ehhez tartozó magasságaik is egyenlők, vagyis a B és D pontok egyenlő távolságra vannak az AE egyenestől.
Ötszögünk konvex, így B és D az AE-nek ugyanazon az oldalán helyezkedik el; tehát a BD egyenes párhuzamos az AE egyenessel.
 

II. megoldás. A vektorok vektoriális szorzatát használva is megoldhatjuk a feladatot. Jelöljük az ötszög csúcsait ugyanúgy, mint az I. megoldásban. Legyen továbbá
AB→=a,BC→=b,CD→=c,DE→=d,EA→=e.

Ekkor a négy feltétel éppen azt jelenti, hogy
a×(c+d)=0,b×(d+e)=0,c×(e+a)=0,d×(a+b)=0.



Adjuk össze ezt a négy egyenlőséget, és rendezzük a bal oldalt
a×c+a×d+b×d+b×e+c×e+c×a+d×a+d×b==(a×c+c×a)+(a×d+d×a)+(b×d+d×b)+b×e+c×e==(b+c)×e=0.



Ez viszont pontosan akkor teljesül, ha a BD és az EA szakaszok párhuzamosak.
 

Megjegyzés. Több megoldó azt próbálta bizonyítani, hogy a feltételeket kielégítő ötszög szabályos, vagy legalábbis szimmetrikus. Ez azonban nem igaz. A feltételeket kielégítő ötszögek az ún. ,,affin szabályos'' sokszögek közé tartoznak, ami azt jelenti, hogy oldalaik és szögeik nem feltétlenül egyenlőek, de mindazok az oldalaik és átlóik párhuzamosak, amely oldalak és átlók a megfelelő oldalszámú szabályos sokszögben párhuzamosak. (Az affin szabályos négyszögeknek így két-két szemközti oldaluk párhuzamos ‐ mivel a négyzet oldalai és átlói közül csak a szemközti oldalak párhuzamosak ‐ ezek tehát éppen a paralelogrammák.) Belátható, hogy egy affin szabályos ötszögnek két oldalát és az azok által bezárt szögét szabadon megválaszthatjuk.