Feladat: Gy.2467 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Anton A. ,  Apáti Mónika ,  Bajna P. ,  Balogh 171 J. ,  Bánfai K. ,  Benczúr P. ,  Berke Mónika ,  Berzéthy P. ,  Bíró N. ,  Blaskovics B. ,  Boldizsár T. ,  Bukta Zsófia ,  Búzásy Gy. ,  Csikós A. ,  Csirik J. ,  Csisók A. ,  Fügedi Zs. ,  Gausz J. ,  Horváth 123 I. ,  Imreh Cs. ,  Keresztély T. ,  Kondacs A. ,  Kőrösi A. ,  Kovács 271 Ágnes ,  Ladányi J. ,  Mag Gy. ,  Megyesi G. ,  Mekis A. ,  Miczki Erika ,  Németh 026 L. ,  Németh 189 E. ,  Parádi Cs. ,  Pásztor 228 Gabriella ,  Semsey Sz. ,  Séra T. ,  Szakács Á. ,  Szalkai Á. ,  Szekeres B. ,  Szilágyi B. ,  Takács Z. ,  Tóth 333 A. ,  Tóth 509 P. ,  Zerkovitz Zsuzsanna ,  Zircher Péter 
Füzet: 1988/november, 383 - 384. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek hasonlósága, Derékszögű háromszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/február: Gy.2467

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Először azzal az esettel foglalkozunk, amikor az F pont a k kör belsejébe (például az OB szakaszra) esik, tehát G kívülre (1. ábra).

 
 
1. ábra
 

A k kör középpontját O-val, sugarát pedig r-rel jelöljük, legyen továbbá GB=x és FB=y. Ha C=E, akkor a G pont meghatározása értelmetlenné válik; így C≠E és O≠F. Mivel AG=AB+BG=2r+x és AF=AB-BF=2r-y, ezért azt kell belátnunk, hogy
(2r+x)y=(2r-y)x,
vagyis
ry+xy=rx.

Az OGC és ODF derékszögű háromszögek hasonlóak, hiszen ODF∢ és OGC∢ merőleges szárú szögek. A háromszögek hasonlósága miatt:
OG:OC=OD:OF,
azaz
r+xr=rr-y.

Rendezés után ebből éppen a bizonyítandó egyenlőséget kapjuk.
 
 
2. ábra
 

Könnyen belátható, hogy a C és D pontok szerepének felcserélésével az F és G pontok szerepe is éppen felcserélődik (2. ábra). A bizonyítandó egyenlőség azonban az F és G pontok felcserélésével sem változik (csupán az egyenlőség két oldala cserél helyet), így a fenti gondolatmenet a feladat állítását abban az esetben is bizonyítja, amikor F a k körön kívül van. Ha F a k körön helyezkedik el (azaz F=A vagy B), akkor F=G, tehát a kívánt egyenlőség nyilvánvalóan teljesül.
 
Zircher Péter (Jászberény, Lehel Vezér Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján