Kezdőlap


Feladat:	Gy.2465	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1988/november, 382 - 383. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Konstruktív megoldási módszer, Természetes számok, Partíciós problémák, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/február: Gy.2465

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a $69$ szám növekvő sorrendben:

\begin{matrix} 0 < a_{1} < a_{2} < ... < a_{69} ≦ 100. \end{matrix}

Ekkor

a_{1} < 33

, hiszen

a_{2}, a_{3}, ..., a_{69}

68

darab,

a_{1}

-nél nagyobb és

101

-nél kisebb szám. Tekintsük a pozitív egészekből álló

\begin{matrix} {a_{1} + a_{3}, a_{1} + a_{4}, ..., a_{1} + a_{69}} \end{matrix}

és

\begin{matrix} {a_{3} - a_{2}, a_{4} - a_{2}, ..., a_{69} - a_{2}} \end{matrix}

halmazokat. Mindkét halmaznak

67

eleme van, és az elemek legnagyobbika,

a_{1} + a_{69}

legfeljebb

132

. A két halmaznak tehát van közös eleme, azaz létezik olyan

n

és

m

, amelyekre

\begin{matrix} a_{1} + a_{n} = a_{m} - a_{2}, azaz a_{1} + a_{2} + a_{n} = a_{m}; \end{matrix}

n > 2

miatt tehát van a számok között három különböző, amelyeknek az összege is a megadott számok közül való.

Megjegyzés. A feladat állítása

69

helyett

68

darab (

100

-nál nem nagyobb) számra már nem igaz. Vegyük ugyanis a következő egészeket:

33, 34, ..., 100

. Ezek közül bármelyik három különbözőnek az összege legalább

33 + 34 + 35 = 102

, tehát nem tartozhat az adott számokhoz. Nem hagyható el az a feltétel sem, hogy a számok egyike se legyen

100

-nál nagyobb:

33, 34, ..., 101

69

darab egész, és közülük bármelyik háromnak az összege legalább

102