Kezdőlap


Feladat:	Gy.2464	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Gausz János
Füzet:	1988/november, 382. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Egész számok összege, Oszthatósági feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/február: Gy.2464

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Két szomszédos páratlan szám összege $4$ -gyel osztható, ezért páros sok egymást követő páratlan szám összege is osztható $4$ -gyel. Páratlan sok egymást követő páratlan szám összege természetesen páratlan, és mivel az összegben ilyenkor a középsőre szimmetrikusan elhelyezkedő tagok összege a középső tag kétszerese, az összeg (a középső tag többszöröseként) összetett szám.
Így a páros számok közül csak a $4$ -gyel oszthatók, a páratlanok közül pedig csak az összetettek írhatók fel a kívánt módon. Megmutatjuk, hogy ez a feltétel már elégséges is, azaz pontosan a fenti pozitív számok írhatók fel kettő, vagy annál több egymást követő pozitív páratlan szám összegeként.
A $4 k = (2 k - 1) + (2 k + 1)$ azonosságból nyilvánvaló az állításnak a páros számokra vonatkozó része. A páratlan (pozitív) összetett számok felírhatók két páratlan szám $p \cdot q$ szorzataként, ahol $p ≧ q > 1$ . Ekkor a $q$ tagból álló

\begin{matrix} (p - (q - 1)) + (p - (q - 1) + 2) + ... + p + ... + (p + ((q - 1)) \end{matrix}

összeg értéke valóban

p \cdot q

Gausz János (Marcali, Ladi J. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján

II. megoldás. Ismeretes, hogy

\begin{matrix} 1 + 3 + ... + (2 m - 1) = m^{2} . \end{matrix}

Ennek alapján egy

a

szám pontosan akkor írható fel a kívánt alakban, ha előáll két, nem szomszédos négyzetszám különbségeként. Ha

a = x^{2} - y^{2} = (x - y) (x + y)

, ahol az

x^{2}

és

y^{2}

négyzetszámok nem szomszédosak, akkor egyrészt

1 < x - y < x + y

, másrészt

x - y

és

x + y

paritása megegyezik. Az

a

szám tehát összetett, és vagy páratlan, vagy

4

-gyel osztható. Megfordítva, ha

a

4

-gyel osztható, vagy páratlan összetett szám, akkor

a

felírható

p \cdot q

alakban, ahol

p

és

q

azonos paritású,

1

-nél nagyobb számok.
Így

\frac{p + q}{2}

és

\frac{p - q}{2}

nem szomszédos egészek, és

\begin{matrix} a = p q = {(\frac{p + q}{2})}^{2} - {(\frac{p - q}{2})}^{2} \end{matrix}

szerint

a

felírható a kívánt formában.