Kezdőlap


Feladat:	Gy.2462	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1988/október, 313 - 314. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Racionális számok és tulajdonságaik, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Egészrész, törtrész függvények, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/február: Gy.2462

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Mivel $x^{2} + x = ([x^{2}] + [x]) + ({x^{2}} + {x})$ , ezért ha ${x^{2}} + {x} = 1$ egész szám, akkor $x^{2} + x = k$ is egész. Az

\begin{matrix} x^{2} + x = k \end{matrix}

egyenletet

x

-re megoldva,

\begin{matrix} x = \frac{- 1 \pm \sqrt[]{1 + 4 k}}{2} \end{matrix}

adódik. Ha

x

racionális, akkor

\sqrt[]{1 + 4 k} = \pm (2 x + 1)

is racionális, így ‐ egész szám négyzetgyöke lévén ‐ egész. Nyilván akkor

\sqrt[]{1 + 4 k}

páratlan,

- 1 \pm \sqrt[]{1 + 4 k}

páros, tehát

x

egész szám; így azonban

{x^{2}} + {x} = 0

, és ez ellentmondás.

II. megoldás. A feladatot a következő, általánosabb formában bizonyítjuk: Ha

n

természetes szám,

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n - 1}

egészek, és

x

racionális, akkor

{x^{n}} + {a_{n - 1} x^{n - 1}} + ... + {a_{1} x}

(csak) úgy lehet egész szám, ha

x

maga is egész.
Tegyük fel, hogy a kérdéses összeg egész. Az előző megoldásban alkalmazott gondolatmenettel ekkor azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} x^{n} + a_{n - 1} x^{n - 1} + ... + a_{1} x = a_{0} \end{matrix}

(1)

is egész szám. Legyen

x = \frac{p}{q}

, ahol a

\frac{p}{q}

tört már nem egyszerűsíthető. Írjuk be az (1) egyenletbe

x = \frac{p}{q}

értékét; mindkét oldalt

q^{n}

-nel megszorozva, rendezés után az alábbi összefüggéshez jutunk:

\begin{matrix} p^{n} = - (a_{n - 1} p^{n - 1} q + ... + a_{1} p q^{n - 1}) + a_{0} q^{n} . \end{matrix}

(2)

A (2) egyenlőség jobb oldalán valamennyi összeadandó

q

-val osztható szám, így

p^{n}

is osztható

q

-val. Mivel

p

-nek és

q

-nak nincs

1

-nél nagyobb közös osztója, ez csak úgy lehetséges, hogy

q = \pm 1

, azaz

x

egész.