Feladat: Gy.2460 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Stolmár Katalin 
Füzet: 1988/november, 380 - 381. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Geometriai egyenlőtlenségek, Indirekt bizonyítási mód, Hossz, kerület, Terület, felszín, Egyéb sokszögek geometriája, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/január: Gy.2460

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Válasszunk ki a sokszög kerületén egy tetszőleges A pontot. Legyen B az a pont, amely a sokszögvonalon haladva A-tól 1/2 távolságra van. Jelöljük O-val az AB szakasz felezőpontját (ha A≡B ‐ ami hurkolt sokszög esetén fordulhat elő‐, akkor legyen O≡A). Megmutatjuk, hogy az O középpontú, 1/4 sugarú kör lefedi a sokszöget.

 
 

Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, azaz van olyan P pontja a sokszögvonalnak, amely a körön kívülre esik. A háromszög-egyenlőtlenség miatt az AP szakasz legfeljebb akkora, mint a sokszögvonal A és P közötti része, a BP szakasz pedig legfeljebb akkora, mint a sokszögvonal P és B közötti része. Vagyis AP+BP≦1/2, mert a sokszögvonal A és B közötti része éppen 1/2. Legyen a P pont O-ra vonatkozó tükörképe P'. Ekkor a P' pont is a körön kívülre esik, tehát a PP' szakasz nagyobb, mint a kör átmérője.
A tükrözés miatt P'A=PB, így:
1/2≧PA+PB=PA+P'A≧PP'>1/2.

Ellentmondásra jutottunk, tehát hibás a feltevésünk; vagyis a sokszögnek nem lehet pontja a körön kívül.
 
Stolmár Katalin (Győr, Révai M. Gimn., I. o. t.)
dolgozata alapján

 
Megjegyzések. 1. A feladat állítása tetszőleges, egységnyi kerületű zárt vonalra is igaz, hiszen a bizonyítás során nem használtuk ki, hogy sokszögről van szó.
2. A bizonyításból az is látható, hogy egy-egy síkidomhoz általában több olyan kör is található, amely lefedi a síkidomot (az A pontot ugyanis tetszőlegesen választottuk a kerületen).