Feladat: Gy.2457 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csirik János ,  Szegedy Balázs 
Füzet: 1988/szeptember, 264. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Indirekt bizonyítási mód, Osztók összege, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1988/január: Gy.2457

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen A a szóban forgó négyzetszám, B ennek egy kiválasztott osztója, jelöljük A/B-t C-vel. Ekkor

A+B=BC+B=(C+1).
Tegyük fel, hogy A+B a feladat állításával ellentétben négyzetszám. Két esetet különböztetünk meg.
Ha a B osztó négyzetszám, akkor C=A/B és C+1=(A+B)/B is négyzetszámok, mivel négyzetszámok hányadosai és egészek. Két négyzetszám különbsége viszont csak akkor lehet 1, ha a nagyobbik 1, s a kisebbik 0. Márpedig C=0 lehetetlen, hiszen ekkor A=BC is nulla volna.
A második eset, ha a B osztó nem négyzetszám. Ekkor létezik olyan p prímszám, amelyik a B prímtényezős felbontásában páratlan hatványon szerepel. Mivel A és A+B mindegyike osztható B-vel, ezért mindegyikük osztható p-vel; mivel mindegyikük négyzetszám, ezért mindegyikük p-nek egy páros kitevőjű hatványával ‐ s a B-vel való oszthatóság alapján e kitevő nagyobb a B-ben szereplő (páratlan!) kitevőnél. Így C=A/B és C+1=(A+B)/C mindegyike osztható p-vel, ami ugyancsak lehetetlen.
 

Szegedy Balázs (Budapest, Kosciuszko T. u. Ált. Isk., 8. o. t.)
 

II. megoldás. Az előző megoldás jelöléseit használva tegyük föl ismét, hogy A+B négyzetszám. Ekkor tetszőleges négyzetszámmal ‐ tehát A-val szorozva ‐ ismét négyzetszámot kell kapnunk.
(A+B)A=(BC+B)BC=B2C(C+1),
tehát C(C+1) is négyzetszám. Ez viszont nem lehet, hiszen ha C>0, akkor
C2<C(C+1)<C2+2C+1=(C+1)2.

A kapott ellentmondás azt jelenti, hogy A+B valóban nem lehet négyzetszám.
Csirik János (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o. t.)
 

Megjegyzések. 1. Mindkét megoldásban a számelmélet alaptételének azt a következményét használtuk fel, hogy egy egész szám akkor és csak akkor négyzetszám, ha a prímtényezős felbontásban minden prímszám kitevője páros.
2. A feladat nem zárta ki a negatív osztók lehetőségét, természetesen n2-n2=0, ami négyzetszám. A bizonyítások bármelyike kiadja azt a valamivel bővebb állítást, hogy egy pozitív négyzetszámnak és egy osztójának összege vagy különbsége csak abban a triviális esetben lehet négyzetszám, ha nulla.