A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen a szóban forgó négyzetszám, ennek egy kiválasztott osztója, jelöljük -t -vel. Ekkor Tegyük fel, hogy a feladat állításával ellentétben négyzetszám. Két esetet különböztetünk meg. Ha a osztó négyzetszám, akkor és is négyzetszámok, mivel négyzetszámok hányadosai és egészek. Két négyzetszám különbsége viszont csak akkor lehet 1, ha a nagyobbik 1, s a kisebbik 0. Márpedig lehetetlen, hiszen ekkor is nulla volna. A második eset, ha a osztó nem négyzetszám. Ekkor létezik olyan prímszám, amelyik a prímtényezős felbontásában páratlan hatványon szerepel. Mivel és mindegyike osztható -vel, ezért mindegyikük osztható -vel; mivel mindegyikük négyzetszám, ezért mindegyikük -nek egy páros kitevőjű hatványával ‐ s a -vel való oszthatóság alapján e kitevő nagyobb a -ben szereplő (páratlan!) kitevőnél. Így és mindegyike osztható -vel, ami ugyancsak lehetetlen. Szegedy Balázs (Budapest, Kosciuszko T. u. Ált. Isk., 8. o. t.) II. megoldás. Az előző megoldás jelöléseit használva tegyük föl ismét, hogy négyzetszám. Ekkor tetszőleges négyzetszámmal ‐ tehát -val szorozva ‐ ismét négyzetszámot kell kapnunk. | | tehát is négyzetszám. Ez viszont nem lehet, hiszen ha , akkor | |
A kapott ellentmondás azt jelenti, hogy valóban nem lehet négyzetszám. Csirik János (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., II. o. t.) Megjegyzések. 1. Mindkét megoldásban a számelmélet alaptételének azt a következményét használtuk fel, hogy egy egész szám akkor és csak akkor négyzetszám, ha a prímtényezős felbontásban minden prímszám kitevője páros. 2. A feladat nem zárta ki a negatív osztók lehetőségét, természetesen , ami négyzetszám. A bizonyítások bármelyike kiadja azt a valamivel bővebb állítást, hogy egy pozitív négyzetszámnak és egy osztójának összege vagy különbsége csak abban a triviális esetben lehet négyzetszám, ha nulla.
|