Kezdőlap


Feladat:	Gy.2456	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1988/október, 312 - 313. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Paraméteres egyenletek, Gyökök és együtthatók közötti összefüggések, Egész együtthatós polinomok, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/január: Gy.2456

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mivel a polinomnak pontosan két gyöke van, ezért a másodfokú tag együtthatója nem nulla. Ha $a < 0$ , akkor (-1)-gyel szorozva olyan polinomhoz jutunk, amelynek gyökei, illetve együtthatóinak abszolút értéke azonos az eredetiével, ezért föltehető, hogy $a > 0$ .
A polinomnak vannak gyökei, és ezek különbözők, így diszkriminánsa pozitív:

\begin{matrix} b^{2} > 4 a c . \end{matrix}

(1)

A gyökök,

x_{1}

és

x_{2}

, nagyságára vonatkozó feltételt a gyökök és együtthatók közti összefüggések felhasználásával írjuk fel. Mindkét gyök akkor és csak akkor pozitív, ha összegük és szorzatuk is pozitív. Mindkét gyök akkor és csak akkor kisebb 1-nél, ha

(1 - x_{1})

és

(1 - x_{2})

pozitív számok, azaz összegük és szorzatuk is pozitív.
A

b^{2} > 4 a c

feltétellel együtt tehát pontosan akkor lesz mindkét gyök 0-nál nagyobb és 1-nél kisebb, ha az

\begin{matrix} x_{1} + x_{2} = - \frac{b}{a}, \\ x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}, \\ (1 - x_{1}) + (1 - x_{2}) = 2 - (x_{1} + x_{2}) = 2 + \frac{b}{a}, és az \\ (1 - x_{1}) (1 - x_{2}) = 1 - (x_{1} + x_{2}) + x_{1} x_{2} = 1 + \frac{b}{a} + \frac{c}{a} \end{matrix}

mennyiségek mindegyike pozitív. Ha

a > 0

, akkor az első két feltételből

\begin{matrix} b < 0, c > 0, \end{matrix}

(2)

a másik kettőből pedig

\begin{matrix} 2 a + b > 0, illetve & (3) \\ a + b + c > 0 adódik. & (4) \end{matrix}

Azt a legkisebb pozitív egész

a

számot keressük, amelyhez vannak olyan

b

és

c

egészek, hogy teljesül (1), (2), (3) és (4).
(4)-ből kapjuk, hogy

a + c > - b = | b |

. A kapott egyenlőtlenség két oldalán egész számok állnak, tehát még

a + c - 1 ≧ | b |

is teljesül. Ezt az (1)-ből kapható

| b | > 2 \sqrt[]{a} c

-vel összevetve

\begin{matrix} a + c - 1 > 2 \sqrt[]{a c} \end{matrix}

adódik, ahonnan rendezés után a

\begin{matrix} {(\sqrt[]{a} - \sqrt[]{c})}^{2} > 1 \end{matrix}

(5)

feltételt kapjuk.
Mivel a gyökök szorzata,

x_{1} x_{2} = \frac{c}{a}

kisebb 1-nél, ezért

a > c

(ezt egyébként a (1)-ből és (3)-ból is megkaphatjuk). Így (5)-ből

\begin{matrix} \sqrt[]{a} - \sqrt[]{c} > 1, azaz \\ \sqrt[]{a} > 1 + \sqrt[]{c} ≧ 2. \end{matrix}

Tehát

a > 4

.
Ha

a = 5

, akkor

0 < \sqrt[]{c} < \sqrt[]{a} - 1

miatt

c = 1

, végül ekkor (1)-ből és (4)-ből

6 > - b > \sqrt[]{20}

, azaz

b = - 5

.
A kapott

5 x^{2} - 5 x + 1

polinom együtthatóira az (1)‐(4) feltételek mindegyike teljesül, és valóban két különböző, 0 és 1 közötti gyöke van.

Megjegyzések. 1. Ha

a > 4

, akkor az

a x^{2} - a x + 1 = 0

egyenlet gyökei 0 és 1 között vannak és különbözők.
2. Ha nem követeljük meg, hogy a polinom együtthatói egészek legyenek, akkor természetesen bármilyen kicsi lehet a másodfokú tag együtthatójának abszolút értéke.
3. A (2)‐(4) feltételeket másképpen is megkaphatjuk: Ha

a > 0

, akkor az

f (x) = {a x}^{2} + b x + c

polinom gyökei pontosan akkor esnek a (

0; 1

) intervallumba, ha

f (0) = c > 0

f (1) = a + b + c > 0

0 < - \frac{b}{2 a} < 1

és

f (- \frac{b}{2 a}) < 0