Kezdőlap


Feladat:	Gy.2455	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1988/november, 376 - 377. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Irracionális számok és tulajdonságaik, Egészrész, törtrész függvények, Rekurzív eljárások, Számsorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1988/január: Gy.2455

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jelöljük a vizsgált összeg első tagját $A$ val, a másodikat pedig $B$ -vel. Nyilván

\begin{matrix} \sqrt[]{6} < A, \sqrt[3]{6} < B . \end{matrix}

Legyen másrészt

\begin{matrix} A_{100} = \sqrt[]{6 + \sqrt[]{6 + ... + \sqrt[]{6 + \sqrt[]{9}}}} és \\ B_{100} = \sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{6 + ... + \sqrt[3]{6 + \sqrt[3]{8}}}} \end{matrix}

(az indexek a kifejezésekben szereplő gyökjelek számára utalnak). Mivel a legutolsó gyökjel alatti számot növeltük, ezért

\begin{matrix} A < A_{100}, B < B_{100} . \end{matrix}

A_{100}

-hoz hasonlóan értelmezhetjük az

\begin{matrix} A_{1} = \sqrt[]{9}, A_{2} = \sqrt[]{6 + \sqrt[]{9}}, A_{3} = \sqrt[]{6 + \sqrt[]{6 + \sqrt[]{9}}}, ... \end{matrix}

számokat. Megmutatjuk, hogy mindegyik

A_{i}

egyenlő

3

-mal.

A_{n}

-ben ugyanis az utolsó gyökvonást elvégezve:

\begin{matrix} A_{n} = \sqrt[]{6 + \sqrt[]{6 + ... + \sqrt[]{6 + \sqrt[]{9}}}} = \sqrt[]{6 + \sqrt[]{6 + ... + \sqrt[]{6 + 3}}} = A_{n - 1} . \end{matrix}

Így

A_{100} = A_{99} = ... = A_{2} = A_{1} = 3

.
Hasonlóan látható be az is, hogy

B_{100} = 2

, így

\begin{matrix} \sqrt[]{6} + \sqrt[3]{6} < A + B < 3 + 2. \end{matrix}

Mivel

\sqrt[]{6} + \sqrt[3]{6} > 4

, ezért

A + B

egész részre

4

Megjegyzések. 1. A bizonyításból látható, hogy az eredmény szempontjából közömbös az

A

-ban és

B

-ben előforduló gyökjeleknek a száma.
2. A

\sqrt[]{6} + \sqrt[3]{6} > 4

egyenlőtlenséget például úgy igazolhatjuk, hogy az átrendezéssel kapott

\sqrt[3]{6} > 4 - \sqrt[]{6}

alak mindkét oldalát megszorozzuk

4 + \sqrt[]{6}

-tal:

\begin{matrix} \sqrt[3]{6} (4 + \sqrt[]{6}) > 4^{2} - 6 = 10; \end{matrix}

ez az egyenlőtlenség pedig azért igaz, mert a bal oldalon álló első tényező

\frac{10}{6}

-nál, a második pedig

6

-nál nagyobb.