Kezdőlap


Feladat:	Gy.2453	Korcsoport: 18-	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1988/október, 310 - 312. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Poliéderek átdarabolása, Térfogat, Térgeometria alapjai, Szabályos tetraéder, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/december: Gy.2453

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megmutatjuk, hogy egyetlen olyan test van, amely eleget tesz a feladat feltételeinek, és ezt megkaphatjuk például úgy, hogy egy 3 egységnyi élhosszúságú szabályos tetraéder minden egyes csúcsát levágjuk azzal a síkkal, amelyet az illető csúcsból kiinduló élek csúcshoz közelebbi harmadolópontjai határoznak meg (1. ábra).

1. ábra

Először azt látjuk be, hogy az előírt tulajdonságokkal legfeljebb egy test rendelkezhet. Tekintsük ugyanis a feltételezett test egyik hatszöglapját, és a vele szomszédos (hozzá közös élben csatlakozó) 6 darab lapot. Ezek felváltva lesznek háromszög ‐ hatszöglapok, hiszen minden csúcsban 2 hatszög és 1 háromszög találkozik (2. ábra). Ha az ott látott módon kiterített lapokból konvex testet készítünk, akkor az

A_{1}

A_{2}

A_{3}

, illetve

D_{1}

és

D_{2}

pontoknak a lapok "összehajtása'' után egybe kell esni, ugyanígy egybe kell esnie a

B_{1}

B_{2}

B_{3}

;

E_{1}

E_{2}

valamint a

C_{1}

C_{2}

C_{3}

; illetve

F_{1}

F_{2}

pontoknak is.

2. ábra

A 3 egységnyi élhosszúságú szabályos tetraéder korábban leírt csonkolásával kapott testnek a tetraéder szabályossága miatt valóban 4 darab szabályos háromszöglapja van (minden levágott csúcs környezetében 1-1), és 4 darab szabályos hatszöglapja (a tetraéder minden lapján 1-1), látható továbbá, hogy a 12 csúcs mindegyikében 2 hatszög és 1 háromszög találkozik; ez a test tehát valóban kielégíti a feltételeket (3. ábra).

3. ábra

Ezek után a test térfogatát már könnyen kiszámíthatjuk. Az

a

élű szabályos tetraéder térfogata

\frac{a^{3} \sqrt[]{2}}{12}

; testünk térfogatát megkapjuk, ha egy 3 egységnyi élhosszúságú tetraéder térfogatából levonjuk 4 darab egységnyi élhosszúságú tetraéder térfogatát:

\begin{matrix} V = \frac{27 \sqrt[]{2}}{12} - 4 \frac{\sqrt[]{2}}{12} = \frac{23 \sqrt[]{2}}{12} \approx 2,71. \end{matrix}