A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen az húrnégyszög átlóinak metszéspontja , a -ből az oldalakra bocsátott merőlegesek talppontjai pedig rendre , , és (1. ábra). Megmutatjuk, hogy a négyszög szemközti szögeinek összege , továbbá hogy e négyszög minden szögfelezője átmegy a ponton. Az előbbiből következik, hogy húrnégyszög, utóbbi pedig azt jelenti, hogy kör írható belé.
1. ábra A pontból az oldalakra bocsátott merőlegesek négy húrnégyszögre bontják az eredeti négyszöget, hisz mindegyikükben van két egymással szemközti derékszög. Az húrnégyszögben: az húrnégyszögben pedig: De , mert az húrnégyszögben a és a íven nyugvó kerületi szögek, így Az eddigieket összefoglalva: az szög nagysága szögfelezője pedig az egyenes (vagyis a szögfelező átmegy a ponton). Hasonlóan látható be, hogy ha az egymással egyenlő és szögeket -val jelöljük, akkor , az szög felezője pedig az egyenes. Így a négyszög két szemben levő szögének összege :
| | (3) | De , mert az háromszög nél derékszögű, másik két szöge pedig éppen és . (3) tehát azt jelenti, hogy a négyszög szemközti szögeinek összege , vagyis a négyszög húrnégyszög. Már láttuk, hogy ebben a négyszögben az és az egyenesek szögfelezők. Hasonló módon látható be, hogy a és az egyenesek is azok, azaz a négyszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez viszont éppen azt jelenti, hogy a négyszög érintőnégyszög. Ezzel az állítást beláttuk. Sztrida Ákos (Szekszárd, Garay J. Gimn., II. o. t.)
dolgozata alapján
Megjegyzések. 1. Az érintőnégyszög legismertebb tulajdonsága az, hogy szemközti oldalainak összege egyenlő. A négyszög érintőnégyszög voltát ennek alapján is be lehet bizonyítani.
2. ábra A 2. ábrán a -ből merőlegeseket bocsátunk a négyszög oldalaira. Ekkor az és az derékszögű háromszögek egybevágók, mert átfogójuk közös és az -nél lévő szögük egyenlő. Ezért Hasonlóan látható be, hogy és és így a négyszög szemközti oldalainak összege valóban egyenlő.
Tóth Ildikó (Nyíregyháza, Vásárhelyi P. Szki., I. o. t.)
2. A négyszög érintőnégyszög voltának bizonyításakor nem használtuk ki, hogy eredeti négyszögünk átlói merőlegesek. Tetszőleges húrnégyszögben igaz tehát, hogy az átlók metszéspontjából az oldalakra bocsátott merőlegesek talppontjai érintőnégyszöget alkotnak. |