Feladat: Gy.2450 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Sztrida Ákos ,  Tóth Ildikó 
Füzet: 1988/május, 216 - 217. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Síkgeometriai bizonyítások, Háromszögek egybevágósága, Húrnégyszögek, Érintőnégyszögek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/december: Gy.2450

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen az ABCD húrnégyszög átlóinak metszéspontja P, a P-ből az oldalakra bocsátott merőlegesek talppontjai pedig rendre K, L, M és N (1. ábra). Megmutatjuk, hogy a KLMN négyszög szemközti szögeinek összege 180, továbbá hogy e négyszög minden szögfelezője átmegy a P ponton. Az előbbiből következik, hogy KLMN húrnégyszög, utóbbi pedig azt jelenti, hogy kör írható belé.

 
 
1. ábra
 

A P pontból az oldalakra bocsátott merőlegesek négy húrnégyszögre bontják az eredeti négyszöget, hisz mindegyikükben van két egymással szemközti derékszög. Az AMPL húrnégyszögben:
MAP=MLP=α,(1)
az LPKD húrnégyszögben pedig:
PLK=PDK=α'.(2)
De MAP=BAC=BDC=PDK, mert az ABCD húrnégyszögben a BAC és a BDC  aBC^ íven nyugvó kerületi szögek, így α=α'. Az eddigieket összefoglalva: az MLK szög nagysága 2α, szögfelezője pedig az LP egyenes (vagyis a szögfelező átmegy a P ponton).
Hasonlóan látható be, hogy ha az egymással egyenlő ABD és ACD szögeket β-val jelöljük, akkor MNK=2β, az MNK szög felezője pedig az NP egyenes. Így a KLMN négyszög két szemben levő szögének összege :
MLK+MNK=2α+2β=2(α+β).(3)
De α+β=90, mert az ABP háromszög P- nél derékszögű, másik két szöge pedig éppen α és β. (3) tehát azt jelenti, hogy a KLMN négyszög szemközti szögeinek összege 180, vagyis a négyszög húrnégyszög. Már láttuk, hogy ebben a négyszögben az LP és az NP egyenesek szögfelezők. Hasonló módon látható be, hogy a KP és az MP egyenesek is azok, azaz a KLMN négyszög belső szögfelezői egy pontban metszik egymást. Ez viszont éppen azt jelenti, hogy a négyszög érintőnégyszög.
Ezzel az állítást beláttuk.
 

Sztrida Ákos (Szekszárd, Garay J. Gimn., II. o. t.)

dolgozata alapján

 

Megjegyzések. 1. Az érintőnégyszög legismertebb tulajdonsága az, hogy szemközti oldalainak összege egyenlő. A KLMN négyszög érintőnégyszög voltát ennek alapján is be lehet bizonyítani.
 
 
2. ábra
 

A 2. ábrán a P-ből merőlegeseket bocsátunk a KLMN négyszög oldalaira. Ekkor az LT2P és az LT1P derékszögű háromszögek egybevágók, mert átfogójuk közös és az L-nél lévő szögük egyenlő. Ezért LT1=LT2. Hasonlóan látható be, hogy KT1=KT4,NT4=NT3 és MT3=MT2, és így a KLMN négyszög szemközti oldalainak összege valóban egyenlő.
 
Tóth Ildikó (Nyíregyháza, Vásárhelyi P. Szki., I. o. t.)

 
2. A KLMN négyszög érintőnégyszög voltának bizonyításakor nem használtuk ki, hogy eredeti négyszögünk átlói merőlegesek. Tetszőleges húrnégyszögben igaz tehát, hogy az átlók metszéspontjából az oldalakra bocsátott merőlegesek talppontjai érintőnégyszöget alkotnak.