Kezdőlap


Feladat:	Gy.2449	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Bella Gábor
Füzet:	1988/május, 216. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Rekurzív eljárások, Maradékos osztás, Periodikus sorozatok, Számjegyekkel kapcsolatos feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/december: Gy.2449

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ismeretes, hogy egy tízes számrendszerben felírt szám ugyanazt a maradékot adja 9-cel osztva, mint a számjegyeinek az összege. A leírt eljárás során kapott egy jegyű szám tehát 9, ha a kiindulásul vett szám osztható 9-cel (0-t nem kaphatunk), egyébként pedig a kiindulásul vett szám maradéka 9-cel osztva.
A 2 hatványai nem oszthatók 9-cel, így azt kell megmutatnunk, hogy a 2-hatványok 9-es maradékainak sorozata periodikus.
Mivel $2^{6} = 64 = 9 \cdot 7 + 1,$ ezért ${(2^{6})}^{k}$ is 1 maradékot ad 9-cel osztva. Így

\begin{matrix} 2^{r} és 2^{6 k + r} = {(2^{6})}^{k} \cdot 2^{r} \end{matrix}

ugyanazt a maradékot adják 9-cel osztva.
Ez azt jelenti, hogy a 2-hatványok 9-cel való osztásakor fellépő maradékok hatosával ismétlődnek, a szóban forgó sorozat valóban periodikus, a periódus hossza 6.

Bella Gábor (Győr, Czuczor G. Bencés Gimn., II. o. t.)

Megjegyzés. A megoldás elején kimondott állítás következik abból, hogy a 10 hatványai 1 maradékot adnak 9-cel osztva. Ekkor ugyanis helyi értékenként annyiszor 1 maradékot kapunk, amennyi az ott álló számjegy, és így a szám jegyeit összegezve a helyi értékenként adódó maradékok összegét számoljuk ki.
Az állítás igaz tetszőleges

g

alapú számrendszerben (és ugyanígy bizonyítható): egy

g

alapú számrendszerben felírt szám ugyanazt a maradékot adja (

g - 1

)-gyel osztva, mint a számjegyeinek az összege.