|
Feladat: |
Gy.2443 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Bíró Norbert , Boncz András , Csörnyei Marianna |
Füzet: |
1988/április,
171 - 172. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Háromszögek hasonlósága, Geometriai egyenlőtlenségek, Derékszögű háromszögek geometriája, Súlyvonal, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Háromszögek szerkesztése, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1987/november: Gy.2443 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Jelöljük a háromszög csúcsait vel, súlypontját -sel, az egymásra merőleges súlyvonalak pedig legyenek és (1. ábra).
1. ábra Mivel a középpontú, arányú nagyítás után az pont az oldal felezőpontjába kerül, ugyanez a nagyítás a szakasznak a feltétel szerint -en áthaladó Thalesz-körét egy -n áthaladó körbe viszi. Egy újabb -n átmenő vonalat kapunk, ha megrajzoljuk a középpontú, sugarú kört. A szerkesztés menete ezután a következő. Fölvesszük az ismert oldalt és megrajzoljuk a átmérőjű félkört, ahol az pont képe a középpontú, arányú nagyítás során, azaz . Ebből a körből a középpontú, sugarú kör metszi ki az oldal felezőpontját. Végül az csúcsot a pont -re vonatkozó tükörképeként kapjuk. Akkor és csak akkor van megoldás, ha a két kör metszi egymást, ami pontosan akkor igaz, ha az arány és közé esik, azaz . Ilyenkor két egybevágó háromszöget kapunk, amelyekre nyilván teljesülnek a feltételek. II. megoldás. A második ábra jelöléseit használva: a és háromszögek derékszögűek, ezért igaz rájuk Pitagorasz tétele.
2. ábra
Az egyes szakaszok hosszának felírásakor felhasználjuk, hogy a súlyvonalak harmadolják egymást:
Ezekből egyszerű számolással adódik, hogy , vagyis . Az és befogójú derékszögű háromszög átfogója éppen , tehát ezt a szakaszt meg tudjuk szerkeszteni. éppen az és befogójú derékszögű háromszög átfogója, tehát ha ehhez a háromszöghöz hasonló háromszöget szerkesztünk, melynek átfogója éppen , akkor a 3. ábrán látható háromszögek hasonlósága miatt: vagyis a nagyobbik háromszög kisebb befogója .
3. ábra Ha pedig a oldalt ilyen módon megszerkesztettük, akkor az eredeti háromszögnek már mindhárom oldalát ismerjük, tehát a háromszöget meg tudjuk szerkeszteni. A feladatnak akkor van megoldása, ha az oldalakra teljesül a háromszög-egyenlőtlenség: | | Ezek közül az első mindig fennáll, a két utóbbi pedig pontosan akkor, ha .
Megjegyzés. A szerkesztés az I. megoldás alapján akkor is elvégezhető, ha a súlyvonalak nem -os, hanem tetszőleges szöget zárnak be, csak fölé nem Thalesz-kört, hanem a megfelelő látószög körívét kell szerkeszteni.
|
|