| Feladat: | Gy.2442 | Korcsoport: 16-17 | Nehézségi fok: átlagos |
| Füzet: | 1988/május, 212 - 213. oldal |  PDF | MathML |
|
| Témakör(ök): | Derékszögű háromszögek geometriája, Hatványközepek közötti egyenlőtlenség, Téglalapok, Húrsokszögek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat | ||
| Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1987/november: Gy.2442 | ||
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Válasszuk a kör sugarát egységnyinek, és legyen a szóban forgó téglalap oldalainak hossza , illetve . A téglalap területe ekkor . Ha a kör középpontja, akkor a nyolcszög területe az , , és deltoidok területének összege.  Egy deltoid területe az átlói szorzatának a fele, a fenti deltoidok területe így rendre ; ; ; és ebből a nyolcszög területe A két idom területének aránya tehát Mivel és pozitív, az kifejezés akkor minimális, amikor reciproka, maximális. Ez utóbbi éppen az és számok harmonikus közepe, ami nem lehet nagyobb a két szám négyzetes közepénél,-nél, és egyenlő is csak akkor lehet vele, ha Miután esetünkben Pitagorasz tétele szerint Így akkor maximális, ha és ekkor értéke , ezért a nyolcszög és a téglalap területének aránya akkor minimális, ha vagyis ha a téglalap négyzet (a nyolcszög pedig szabályos), s a minimum értéke Megjegyzés. Az olvasó könnyen igazolhatja a pozitív és számok harmonikus, mértani, számtani és négyzetes közepére vonatkozó egyenlőtlenség-sorozatot: |