Feladat: Gy.2440 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):  Balogh 171 J. ,  Benkő Z. ,  Botrágyi T. ,  Csirik J. ,  Czirók A. ,  Laczkó Mariann ,  Mamrus P. ,  Prikler György ,  Reményi Zs. ,  Szabó 440 Á. ,  Szegedy Krisztián ,  Tárnok Ferenc 
Füzet: 1988/április, 167 - 168. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Azonosságok, Függvényegyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/november: Gy.2440

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Ha x=y=-12, akkor a feltétel jobb oldalán x+y+1=0, így f(-12) és g(-12) közül legalább az egyik ‐ például f(-12) ‐ szintén 0.
Ha most x=-12,y=12, akkor a bal oldal értéke továbbra is 0, a jobb oldalé viszont 1. Ez azt jelenti, hogy nem léteznek a megadott tulajdonságú f és g függvények.

 

II. megoldás. A feltételben x,y, illetve mindkét változó helyére nullát írva a következő egyenlőségek írhatók fel:
f(0)⋅g(y)=y+1,(1)f(x)⋅g(0)=x+1,(2)f(0)⋅g(0)=1.(3)


Ezután (1) és (2) szorzatából
f(0)⋅g(0)⋅f(x)⋅g(y)=(x+1)(y+1)=xy+x+y+1.(4)
A kapott egyenlőség bal oldalán f(0)⋅g(0) értéke (3) szerint 1, így (4)-ből
f(x)⋅g(y)=xy+x+y+1adódik.
Azt kaptuk, hogy ha f és g a megadott tulajdonságú függvények, akkor x+y+1=xy+x+y+1, azaz
xy=0
minden x,y-ra, ami nyilván nem igaz, és így nem léteznek a megfelelő f és g függvények.
 

III. megoldás. Ha léteznek a keresett f és g függvények, akkor a feltétel szerint
f(5)⋅g(3)=9,f(3)⋅g(5)=9,f(5)⋅g(5)=11,f(3)⋅g(3)=7.



Az első és a második két egyenlőségben a bal oldalak szorzata egyenlő: f(5)⋅g(3)⋅f(3)⋅g(5), a jobb oldalaké viszont nem (9⋅9≠11⋅7), így nincsenek olyan f és g függvények, amelyekre teljesülne a feltétel.
 

Megjegyzés. Sok dolgozat szerzője abból indult ki, hogy a keresett f és g lineáris függvény, vagy legalábbis x-nek, illetve y-nak valamilyen polinomja. Erről a szövegben nincsen szó, a feladat teljesen általános függvényekről, tehát a valós számok közötti egyértelmű hozzárendelésről beszélt.