Kezdőlap


Feladat:	Gy.2439	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1988/április, 166 - 167. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Egyenletek, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/november: Gy.2439

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A feltételből $x y z \neq 0$ . A bal oldalon az első két törtből vonjunk le, a harmadikhoz pedig adjunk hozzá egyet-egyet. Ekkor az alábbi egyenlőséget kapjuk:

\begin{matrix} \frac{{(y - z)}^{2} - x^{2}}{2 y z} + \frac{{(x - z)}^{2} - y^{2}}{2 z x} + \frac{{(x + y)}^{2} - z^{2}}{2 x y} = 0. \end{matrix}

A törtek számlálóit két négyzet különbségeként alakítsuk szorzattá és szorozzunk

2 x y z

-vel. Így kapjuk, hogy

\begin{matrix} x (y - z - x) (y - z + x) + y (x - z - y) (x - z + y) + z (x + y + z) (x + y - z) = 0. \end{matrix}

A bal oldalon az

(x + y - z)

tényező kiemelése után végezzük el a beszorzást:

\begin{matrix} (x + y - z) (x y - x z - x^{2} + x y - y z - y^{2} + z x + z y + z^{2}) = 0. \end{matrix}

A második tényező az összevonás után két négyzet különbsége,

\begin{matrix} z^{2} - {(x - y)}^{2} \end{matrix}

és így ugyancsak szorzattá alakítható. Így a feltétel végül az

\begin{matrix} (x + y - z) (x - y + z) (- x + y + z) = 0 \end{matrix}

alakban írható.
Azt kaptuk, hogy ha (1) fennáll, akkor

x, y

és

z

közül valamelyik kettő összege a harmadikkal egyenlő. Mivel (1) nem változik, ha benne két változót fölcserélünk, ezért föltehető, hogy

x + y = z

. Látható, hogy ekkor

\begin{matrix} y^{2} + z^{2} - x^{2} = z^{2} + (y + x) (y - x) = z (z + y - x) = z (x + y + y - x) = 2 z y \end{matrix}

és hasonlóan

\begin{matrix} z^{2} + x^{2} - y^{2} = 2 z x, \end{matrix}

tehát (1)-ben az első két tört értéke valóban

1

, a harmadiké pedig

- 1