Kezdőlap


Feladat:	Gy.2438	Korcsoport: 14-15	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1988/április, 166. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/november: Gy.2438

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A páratlan számok előállnak két szomszédos négyzetszám különbségeként, ugyanis

\begin{matrix} 2 k + 1 = {(k + 1)}^{2} - k^{2} . \end{matrix}

Így ha

n = 2 k + 1

páratlan egész szám, akkor az

\begin{matrix} a = k + 1, b = 0, c = k, d = 0 \end{matrix}

választással valóban

\begin{matrix} n = a^{2} + b^{2} - c^{2} - d^{2} . \end{matrix}

Ha az

n

páros, akkor

n - 1 = 2 k + 1

páratlan. A fentiek szerint

n - 1

előáll két négyzetszám különbségeként, azaz

\begin{matrix} n - 1 = a^{2} - c^{2} \end{matrix}

és így

\begin{matrix} n = a^{2} + 1^{2} - c^{2} - 0^{2} . \end{matrix}