Feladat: Gy.2435 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Csirik János 
Füzet: 1988/április, 165 - 166. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Kör (és részhalmaza), mint mértani hely, Mértani helyek, Gömb és részei, Parabola, mint mértani hely, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/október: Gy.2435

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha az f félegyenes az OA vagy az OB félegyenessel esik egybe, akkor az AM és a BN egyenesek is egybeesnek, így a metszéspontjuk nem jön létre.
A szóban forgó egyenesek az f minden más helyzetében különbözők és benne vannak az AB és az f síkjában ‐ sokan megfeledkeztek arról, hogy a feladat szövege szerint az f a tér tetszőleges, O kezdőpontú félegyenese ‐, így tekintsük a feladatot ebben a síkban.

 
 

A feltétel miatt egyenlő szárú AOM és BON háromszögek t1 és t2 szimmetriatengelyei az O pontban merőlegesen metszik egymást (ábra), hiszen felezik az O csúcsnál lévő szárszögeket, melyek összege 180∘. Mivel t1 merőleges AM-re, t2 pedig BN-re, ezért AM és BN is merőleges egymásra, P metszéspontjukból az AB szakasz derékszögben látszik. A P pont tehát rajta van az AB szakasz Thalész-gömbjén, de A-tól és B-től különbözik.
Megfordítva, ha P olyan pont a térben, melyre APB∢=90∘, akkor az O-n átmenő, AP-re és BP-re merőleges t1, illetve t2 egyenesek merőlegesek egymásra. Ezért az OA félegyenesnek a t1-re vonatkozó tükörképe egybeesik az OB félegyenes t2-re vonatkozó tükörképével. Ha f jelöli ezt a közös tükörképet, akkor a t1-re vonatkozó szimmetria miatt f és AP M metszéspontjára OA=OM, f és BP N metszéspontjára pedig OB=ON. Van tehát olyan helyzete az f félegyenesnek, amikor a leírt szerkesztés éppen a kiszemelt P pontot adja.
A keresett mértani hely tehát az AB átmérőjű gömb az A és a B pontok kivételével.
 

Megjegyzés. Ha az f félegyenes megegyezik az OA vagy az OB félegyenessel, akkor az M és N pont egybeesik az A, illetve B ponttal. Ezekben az esetekben a P pontot is tekinthetjük úgy, hogy az egybeesik az A, illetve B ponttal. Ezt az indokolja, hogy ha az f félegyenes ,,elég közel'' van pl. az OA félegyeneshez, akkor az AM egyenes ,,majdnem merőleges az AB szakaszra'', a BN egyenes pedig ,,majdnem egybeesik az AB egyenessel''. Ezért ha f egybeesik AB-vel, akkor célszerű az AM egyenest úgy tekinteni, mint egy AB-re merőleges egyenest, a BN egyenest pedig úgy, mint az AB egyenest.
Ekkor pedig az AM és BN egyenesek metszéspontjának szerepét az A pont veszi át. A határértékszámítás fogalmait felhasználva ez a gondolatmenet pontossá tehető, de ez meghaladná lapunk kereteit.