Kezdőlap


Feladat:	Gy.2434	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Barabás Gy. , Farkas T. , Macskási Zs. , Pankotai F. , Szabó 13 D. , Tóth Ildikó
Füzet:	1988/március, 118 - 119. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Tengelyes tükrözés, Körülírt kör, Magasságpont, Körülírt kör középpontja, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/október: Gy.2434

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a háromszög köré írható kör középpontja $O,$ a háromszög magasságpontja pedig $M .$ Ismert, hogy az $M$ pontnak a háromszög oldalaira vonatkozó $M'_{a}$ , $M'_{b}$ , $M'_{c}$ tükörképei a háromszög köré írt körön vannak (lásd: Geometriai feladatok gyűjteménye I., 1079. feladat). Ez azt jelenti, hogy az $M'_{a}$ , $M'_{b}$ , $M'_{c}$ pontok az $O$ ponttól egységnyi távolságra vannak. Ekkor viszont a tengelyes tükrözés távolságtartása miatt az $O$ pontnak az oldalakra vonatkozó $O'_{a}$ , $O'_{b}$ , $O'_{c}$ tükörképei az $M$ ponttól vannak egységnyi távolságra. Az $M$ ponton tehát a körülírt kör középpontjának az oldalakra vonatkozó tükörképei köré írt egységsugarú körök mindegyike áthalad.

1. ábra

2. ábra

Ezek alapján a szerkesztést már egyszerűen el tudjuk végezni. Az

O'_{a}

pont ugyanis szintén egységnyi távolságra van a

B

és

C

pontoktól, tehát a

B,

illetve a

C

középpontú, egységsugarú körök

O

-tól különböző metszéspontjaként kapjuk. Ugyanígy szerkeszthetők az

O'_{b}

és

O'_{c}

pontok is. Az

O'_{a}, O'_{b}, O'_{c}

középpontú, egységsugarú körök metszéspontja pedig éppen az

M

pont.
Az így szerkesztett

M

pont az előzőekben leírtak alapján valóban a háromszög magasságpontja lesz. A szerkesztés tetszőleges háromszög esetén elvégezhető (ha a háromszög derékszögű, akkor az

O

pont egybeesik valamelyik tükörképével). Ezzel a feladatot megoldottuk.