Kezdőlap


Feladat:	Gy.2433	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Megoldó(k):	Bíró 100 A. , Bodnár Z. , Bodor A. , Cserna Edit , Csirik J. , Fleiner B. , Fleiner T. , Hídvégi Z. , Kondacs A. , Kőrösi A. , Ladányi J. , Lois L. , Megyeri G. , Nagypál É. , Peták A. , Sándor B. , Séra T. , Szabó 713 D. , Szekeres B. , Temesvári Anikó , Tomacsek T. , Tóth 509 P. Z. , Tulassay Kinga
Füzet:	1988/május, 210 - 212. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Számelrendezések, Konstruktív megoldási módszer, Számsorozatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/október: Gy.2433

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Megmutatjuk, hogy létezik ilyen táblázat és ehhez megadunk egy megfelelő kitöltést. Vegyük észre, hogy

\begin{matrix} 1^{2} + 3^{2} + 5^{2} + 7^{2} + 11^{2} + 13^{2} + 17^{2} + 19^{2} = 1024 = 32^{2} . \end{matrix}

Ebben az összegben a másodiktól kezdve minden tag egy páratlan prímszám négyzete, a nyolc darab szám összege pedig négyzetszám. Ezeket a számokat írjuk táblázatunk első sorába.
Az első oszlop első hét elemének az

1, 2^{2}, 2^{4}, ... 2^{12}

számokat választjuk. Ezek mindegyike négyzetszám, összegük 5461, páratlan:

2 k + 1

alakú. Ha most az első oszlop utolsó mezőjébe

k^{2} = {(\frac{5461 - 1}{2})}^{2} = 2730^{2}

-t írunk, akkor a

(2 k + 1) + k^{2} = {(k + 1)}^{2}

azonosság miatt az első oszlop elemeinek összege is négyzetszám

(2731^{2}) .

Az első oszlop és az első sor kitöltése után a táblázat további mezőibe írjuk az adott mező sorában, illetve oszlopában álló első elemek szorzatát, tehát legyen

a_{i j} = a_{1 j} \cdot a_{i 1} .

Így a táblázat további elemei is négyzetszámok, hiszen két négyzetszám szorzata is négyzetszám.
Ekkor bármelyik sor elemeinek az összege az első sor elemei összegének és a szóban forgó sor első elemének, tehát két négyzetszámnak a szorzata és így maga is négyzetszám. Hasonlóan kapjuk, hogy az így kitöltött táblázat minden egyes oszlopában is négyzetszám az elemek összege. Meg kell még mutatnunk, hogy a táblázat mezőibe különböző számok kerültek.
A táblázat első hét sorára ez nyilván igaz, hiszen itt bármely két elem prímtényezős felbontása különböző. A nyolcadik sorban sincs két egyenlő szám, mert itt az elemek szigorúan monoton nőnek. Végül az első hét sor legnagyobb eleme,

19^{2} \cdot 2^{12}

kisebb, mint a nyolcadik sor legkisebb eleme,

2730^{2}

, ezért az első hét sor és a nyolcadik sor elemei között sincsenek egyenlők. Táblázatunkra tehát valamennyi feltétel teljesül.

II. megoldás. Belátjuk, hogy bármilyen

n \times k

-as táblázat is kitölthető a feladat előírásainak megfelelően. Ha

n

vagy

k

értéke 1, akkor az állítás a Gy. 2408. gyakorlat állításából következik. (A megoldást lásd a KÖMAL 1987/10. számának 313─4. oldalán.) Ha

n = k = 2,

akkor egy megfelelő kitöltés az ábrán látható.

\begin{matrix} 15^{2} & 20^{2} & 25^{2} \\ 36^{2} & 48^{2} & 60^{2} \\ 39^{2} & 52^{2} \end{matrix}

Legyen most a táblázat sorainak a száma

n

, oszlopainak száma pedig

k

. Az előbbiek szerint föltehető, hogy

k ≧ 2

és

n > 2.

A Gy. 2408. gyakorlat állítása szerint ekkor létezik négyzetszámoknak olyan

0 < a_{1} < a_{2} < ... < a_{k}

sorozata, hogy

(a_{1} + a_{2} + ... + a_{k}) = A

is négyzetszám.
A táblázat kitöltéséhez ezután négyzetszámok olyan

b_{1} < b_{2} < ... < b_{n}

sorozatát adjuk meg, melyre

i) b_{1} = 1;

i i) b_{1} + b_{2} + ... + b_{n} = B

négyzetszám;

i i i) b_{i + 1} > b_{i} a_{k} (i = 1,2, ..., n - 1)

, tehát a (

b_{i}

) sorozat "gyorsan nő''.

Ha ezután a táblázat

i

-edik sorának

j

-edik mezőjébe a

b_{i} a_{j}

számot írjuk

(1 ≦ i ≦ n, 1 ≦ j ≦ k),

akkor minden mezőbe négyzetszám kerül, az

i

-edik sorban, illetve a

j

-edik oszlopban pedig

b_{i} \cdot A

, illetve

a_{j} \cdot B

az elemek összege, és ezek is négyzetszámok.
A táblázat minden egyes sorában nőnek az elemek, így egyetlen sorban sem állhat két egyenlő szám. Ami a táblázat két különböző sorát illeti,

i i i)

-ból következik, hogy a kettő közül a kisebb sorszámúban még a legnagyobb elem is kisebb, mint a másik sor legkisebb eleme. Az így kitöltött táblázat tehát megfelel a feladat előírásainak.
Hátravan még a

(b_{i})

sorozat elkészítése. Legyen ez a sorozat a következő:

b_{1} = 1;

b_{2} :

egy

4 a_{k}

-nál nagyobb páros négyzetszám;

b_{3} :

egy

b_{2} a_{k}

-nál nagyobb páros négyzetszám;

\cdot

\cdot

\cdot

b_{n - 1} :

egy

b_{n - 2} \cdot a_{k}

-nál nagyobb páros négyzetszám;

b_{n} = {(\frac{b_{2} + b_{3} + ... + b_{n - 1}}{2})}^{2} (n ≧ 3) .

A sorozat elemei négyzetszámok, összegük:

\begin{matrix} 1 + (b_{2} + ... + b_{n - 1}) + {(\frac{b_{2} + b_{3} + ... + b_{n - 1}}{2})}^{2} = {(1 + \frac{b_{2} + ... + b_{n - 1}}{2})}^{2} \end{matrix}

négyzetszám.
A

i i i)

tulajdonságot a sorozat értelmezése miatt elegendő a

b_{n} > b_{n - 1} \cdot a_{k}

esetre igazolni. Ha

n = 2

vagy

n = 3

, akkor ez a

b_{2}

értelmezéséből következik.
Ha

n ≧ 4,

akkor

\begin{matrix} b_{n} ≧ {(\frac{b_{2} + b_{n - 1}}{2})}^{2} > b_{n - 1} \cdot \frac{b_{2} + b_{n - 1}}{2} > b_{n - 1} \cdot a_{k} . \end{matrix}

Ezzel igazoltuk, hogy a

b_{i}

sorozat rendelkezik a kívánt tulajdonságokkal, így a bizonyítást befejeztük.