Kezdőlap


Feladat:	Gy.2430	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Füzet:	1988/április, 164. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Algebrai átalakítások, Oszthatósági feladatok, Műveletek polinomokkal, Egész együtthatós polinomok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/október: Gy.2430

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. $2^{62} + 1 = {(2^{31} + 1)}^{2} - 2 \cdot 2^{31} = {(2^{31} + 1)}^{2} - 2^{32}$ .
A jobb oldal két négyzet különbségeként szorzattá alakítható és így

\begin{matrix} {(2^{31} + 1)}^{2} - {(2^{16})}^{2} = (2^{31} + 2^{16} + 1) (2^{31} - 2^{16} + 1) \end{matrix}

adódik. A feladat kérdésére tehát igenlő a válasz,

2^{62} + 1

osztható

(2^{31} + 2^{16} + 1)

-gyel, a hányados

2^{31} - 2^{16} + 1

II. megoldás. Jelöljük

2^{15}

értékét

a

-val. Ekkor

2^{62} = 4 a^{4}, 2^{31} = 2 a^{2}

, végül

2^{16} = 2 a

. Így azt kell eldöntenünk, hogy

4 a^{4} + 1

osztható-e

(2 a^{2} + 2 a + 1)

-gyel. Végezzük el az osztást a két polinom között:

\begin{matrix} \begin{matrix} (4 a^{4} + 1) : (2 a^{2} + 2 a + 1) = 2 a^{2} - 2 a + 1 \\ \underset{̲}{4 a^{4} + 4 a^{3} + 2 a^{2}} \\ - 4 a^{3} - 2 a^{2} + 1 \\ \underset{̲}{- 4 a^{3} - 4 a^{2} - 2 a} \\ 2 a^{2} + 2 a + 1 \\ \underset{̲}{2 a^{2} + 2 a + 1} \\ 0 \end{matrix} \end{matrix}

Eredményünk a

4 a^{4} + 1 = (2 a^{2} + 2 a + 1) (2 a^{2} - 2 a + 1)

szorzatalak. Innen látható, hogy ha

a

egész szám ‐

2^{15}

‐, akkor

2 a^{2} - 2 a + 1

is az, és így

4 a^{4} + 1

minden

a

egészre osztható

(2 a^{2} + 2 a + 1)

-gyel.

Megjegyzés. A második megoldásban megadtunk egy

p (x)

és egy

q (x)

egész együtthatós polinomot, melyekre fennállt, hogy

\begin{matrix} p (2^{15}) = 2^{62} + 1 és q (2^{15}) = 2^{31} + 2^{15} + 1. \end{matrix}

Ezután a

p (x)

polinomot

q (x) \cdot h (x)

alakban állítottuk elő, ahol a

h (x)

is egész együtthatós. Ebből következik, hogy

h (2^{15})

egész és így

p (2^{15}) = q (2^{15}) \cdot h (2^{15})

miatt valóban

q (2^{15}) | p (2^{15})

.
Ez a módszer nem feltétlenül vezet eredményre; ha

p (x)

és

q (x)

egész együtthatós polinomok,

a

adott egész szám és

p (a)

osztható

q (a)

-val, akkor nem biztos, hogy a

p (x)

polinom felírható

q (x) \cdot h (x)

alakban.
Például ha

p (x) = x^{4} + 3, q (x) = x + 1

, akkor

p (3) = 84

osztható

q (3) = 4

-gyel, de

p (x)

nem osztható

q (x)

-szel. Annyi igaz, hogy ha a

p (x)

és

q (x)

egész együtthatós polinomok olyanok, hogy

p (n)

végtelen sok

n

egészre osztató

q (n)

-nel, akkor

p (x)

felírható

q (x) \cdot h (x)

alakban, ahol

h (x)

olyan racionális együtthatós polinom, amelyik minden egész helyen egész értéket vesz fel.