Kezdőlap


Feladat:	Gy.2428	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):	Csörnyei Marianna
Füzet:	1988/február, 75 - 76. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Háromszögek egybevágósága, Tengelyes tükrözés, Pont körüli forgatás, Derékszögű háromszögek geometriája, Egyenlő szárú háromszögek geometriája, Középvonal, Párhuzamos szelők tétele, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/szeptember: Gy.2428

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Tükrözzük a háromszöget a $B C$ befogóra! $A$ tükörképe legyen $A'$ , $D$ tükörképe pedig $D'$ . Az $E A$ és $D K$ szakaszok metszéspontját jelöljük $M$ -mel (1. ábra).

1. ábra

B C D'

és az

A C E

háromszögek egybevágóak, mert mindkettő derékszögű, és befogóik egyenlőek (

B C = C A

, mert az

A B C

háromszög egyenlő szárú,

C E = C D

a feltétel, és

C D = C D'

a tükrözés miatt). A két egybevágó háromszögben a megfelelő szögek egyenlők:

\begin{matrix} C A E ∢ = C B D' ∢ = α és C E A ∢ = C D' B ∢ = β . \end{matrix}

A M D

és a

B C D'

derékszögű háromszögek hasonlóak, mert az egyik hegyesszög mindkettőben

α

. E háromszögekben tehát a harmadik szögek is egyenlők, azaz

A D M ∢ = A D' B ∢ = β

. E két egyállású szög egyik szára közös, ezért a másik szárak párhuzamosak, azaz

B D' ∥ K D

L C

viszont a feltétel szerint párhuzamos

K D

-vel, tehát az

A

csúcsú szögtartományban a párhuzamos szelők tétele alapján:

\begin{matrix} \frac{B L}{L K} = \frac{D' C}{C D} . \end{matrix}

Ezt rendezve éppen a bizonyítandó

B L = L K

egyenlőséget kapjuk. (

D' C = C D

D'

származtatása miatt.)

Csörnyei Marianna (Budapest, Budenz úti Ált. Isk., 6. o. t.)
dolgozata alapján

II. megoldás. Forgassuk el az

A B C

háromszöget a

C

körül

+ 90^{\circ}

-kal (2. ábra). A

D K

szakasz ekkor az

E K'

szakaszba megy át,

A

E

és

K'

pedig nyilván egy egyenesre esnek, hisz

D K

és

A E

merőlegesek voltak.

2. ábra

Ha az

L

képe

L'

, akkor elegendő belátnunk, hogy

B' L' = L' K'

, ami viszont következik abból, hogy a

B' K' A

háromszögben

C L'

középvonal, hisz párhuzamos

A K'

-vel és áthalad az

A B'

szakasz

C

felezőpontján.