A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Az elsőnek befestett háromszög oldalegyenesei a síknak a háromszögön kívüli részét részre osztják. Megmutatjuk, hogy a harmadik lépéstől kezdve e rész mindegyikében -vel több háromszöget festünk be, mint a megelőző lépéskor. A harmadik lépéstől kezdve így összesen -vel nő a lépésenként kifestett háromszögek száma.
Ha , akkor az ábrán -val, -vel, illetve -vel jelölt síkrészekben az -edik lépés után pirossá vált háromszögek együttesen egy-egy olyan szabályos háromszöget alkotnak, melynek oldala a sík lefedéséhez használt kis háromszögek oldalának -szerese, hiszen a kifestett idom lépésenként egy "réteggel'' bővül. Ekkor mindhárom befestett rész darab kis háromszöget tartalmaz. Ezután úgy kapjuk az egyes részekben pontosan az -edik lépés során kifestett háromszögek számát, ha az -edik lépés után piros háromszögek számából levonjuk azoknak a háromszögeknek a számát, amelyek már az -edik lépés után is pirosak voltak. | | (1) |
Ez a mennyiség valóban -vel nő, ha az -et -gyel növeljük, így a harmadik lépéstől kezdve az , és síkrészek mindegyikében valóban -vel nő a lépésenként kifestett háromszögek száma. Ugyanez igaz már a második lépéstől kezdve a , és síkrészekben, mert ha ezen síkrészek mindegyikéhez hozzávesszük az elsőnek kifestett háromszöget, az , síkrészekkel egybevágó síkrészekhez jutunk, tehát az előzőekben elmondott bizonyítás végkövetkeztetése most is érvényes. Ezek szerint az egyes lépésekben kifestett háromszögek száma ‐ a második lépéstől kezdve ‐ egy olyan számtani sorozatot alkot, amelynek mind az első tagja, mind pedig a differenciája . A századik lépésben kiszínezett háromszögek száma e sorozat . tagja, vagyis .
|