Kezdőlap


Feladat:	Gy.2423	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1988/február, 73 - 74. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek grafikus megoldása, Polinomok szorzattá alakítása, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/szeptember: Gy.2423

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az egyenlőtlenség bal oldala csoportosítás után szorzattá alakítható.

\begin{matrix} f (x) - f (y) = x^{2} - 6 x + 5 - (y^{2} - 6 y + 5) = x^{2} - y^{2} - 6 (x - y), \end{matrix}

ahonnan

\begin{matrix} f (x) - f (y) = (x - y) (x + y - 6) . \end{matrix}

Tekintsük a derékszögű koordináta-rendszerben az

x - y = 0

, illetve az

x + y - 6 = 0

egyenletű egyeneseket (l/a, b ábrák). Ezek egy-egy félsíkra osztják a síkot úgy, hogy az egyes félsíkok belsejében

x - y

, illetve

x + y - 6

előjele állandó, míg az egyenesek mentén természetesen

x - y

, illetve

x + y - 6

értéke nulla.

1.a ábra

1.b ábra

A keresett ponthalmaz így a két egyenesből, továbbá a megfelelő "pozitív'', illetve "negatív'' félsíkok közös részéből áll (2. ábra), hiszen egy szorzat pontosan akkor nem negatív, ha nulla, vagy pedig mindkét tényező előjele azonos, azaz vagy egyszerre pozitívak, vagy pedig egyszerre negatívak.

2. ábra