Kezdőlap


Feladat:	Gy.2419	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Sándor Balázs
Füzet:	1987/december, 456. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Középvonal, Paralelogrammák, Egyéb sokszögek geometriája, Helyvektorok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/május: Gy.2419

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Legyen az ötszög $A D$ átlójának felezőpontja $F$ . Ekkor $F, M, N$ és $P$ az $A B C D$ négyszög oldalfelező pontjaiként egy paralelogramma négy csúcsa.

A paralelogramma átlói felezik egymást, ezért az

F N

szakasz felezőpontja egybeesik az

M P

szakasz megadott

R

felezőpontjával. Az

R S

szakasz így a

Q F N

háromszögnek a

Q F

oldallal párhuzamos középvonala. A

Q F

pedig éppen

E A

-val párhuzamos középvonal az

E A D

háromszögben. Így

E A = 2 Q F = 2 (2 \cdot R S) = 4 R S,

és abból, hogy mindkettő párhuzamos a

Q F

szakasszal, következik, hogy

E A

és

R S

egymással is párhuzamosak.
Ezzel a feladatot megoldottuk.

II. megoldás. Vegyünk fel egy tetszőleges

O

pontot és indítsunk abból helyvektorokat a megadott pontokhoz, mindegyiküket a megfelelő kisbetűvel jelölve.A vektorok tulajdonságai miatt azt kell megmutatnunk, hogy

4 \vec{R S} = \vec{A E} .

Ismeretes, hogy egy szakasz felezőpontjának helyvektora a szakasz végpontjaiba mutató helyvektorok számtani közepe. Ezt felhasználva :

\begin{matrix} m = \frac{1}{2} (a + b), & p = \frac{1}{2} (c + d), & r = \frac{1}{2} (m + p) = \frac{1}{4} (a + b + c + d), \\ n = \frac{1}{2} (b + c), & q = \frac{1}{2} (d + e), & s = \frac{1}{2} (n + q) = \frac{1}{4} (b + c + d + e) . \end{matrix}

Tehát

\vec{R S} = s - r = \frac{1}{4} (b + c + d + e) - (a + b + c + d) = \frac{1}{4} (e - a) .

Másrészt

\vec{A E} = e - a,

vagyis

\vec{A E} = 4 \vec{R S} .

A E

és az

R S

szakaszok tehát valóban párhuzamosak, és az

A E

szakasz négyszer olyan hosszú, mint az

R S

szakasz.

Megjegyzés. A megoldásokban nem használtuk ki sem az ötszög konvexitását, sem azt, hogy az

A

B

C

D

E

pontok egy síkban vannak. A feladat állítása tehát akkor is igaz, ha az

A

B

C

D

E

pontokat tetszőlegesen vesszük fel a térben.