A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Legyen az ötszög átlójának felezőpontja . Ekkor és az négyszög oldalfelező pontjaiként egy paralelogramma négy csúcsa.
A paralelogramma átlói felezik egymást, ezért az szakasz felezőpontja egybeesik az szakasz megadott felezőpontjával. Az szakasz így a háromszögnek a oldallal párhuzamos középvonala. A pedig éppen -val párhuzamos középvonal az háromszögben. Így és abból, hogy mindkettő párhuzamos a szakasszal, következik, hogy és egymással is párhuzamosak. Ezzel a feladatot megoldottuk.
II. megoldás. Vegyünk fel egy tetszőleges pontot és indítsunk abból helyvektorokat a megadott pontokhoz, mindegyiküket a megfelelő kisbetűvel jelölve.A vektorok tulajdonságai miatt azt kell megmutatnunk, hogy Ismeretes, hogy egy szakasz felezőpontjának helyvektora a szakasz végpontjaiba mutató helyvektorok számtani közepe. Ezt felhasználva :
Tehát Másrészt vagyis Az és az szakaszok tehát valóban párhuzamosak, és az szakasz négyszer olyan hosszú, mint az szakasz.
Megjegyzés. A megoldásokban nem használtuk ki sem az ötszög konvexitását, sem azt, hogy az , , , , pontok egy síkban vannak. A feladat állítása tehát akkor is igaz, ha az , , , , pontokat tetszőlegesen vesszük fel a térben. |