Feladat: Gy.2418 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Füzet: 1987/december, 455 - 456. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Beírt kör, Hozzáírt körök, Magasságpont, Beírt kör középpontja, A háromszögek nevezetes pontjai, Síkgeometriai szerkesztések, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/május: Gy.2418

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Az ABC háromszög beírt körének a középpontja legyen O, a hozzáírt körök középpontjai közül a két adott pedig OA és OB.
Az OA és OB pontok rajta vannak a háromszög C csúcsán átmenő külső, O pedig a C-n átmenő belső szögfelezőn. Ez a két egyenes merőleges egymásra, ezért a C csúcs az O pont merőleges vetülete az OAOB szakaszon. Ugyanígy kapjuk az A csúcsot OB-nek az OOA, a B csúcsot pedig OA-nak az OBO-n lévő merőleges vetületeként. Jelölje még O* az OOAOB, háromszög magasságpontját.
A fentiek alapján szerkesztett A,B,C pontok egy valódi háromszög csúcsai, amennyiben O, OA  és OB nincsenek egy egyenesen és OAOOB∢≠90∘. E három pont egy ortocentrikus pontnégyes, O, OA, OB és O* három magasságtalppontja. A szerkesztés során attól függően jutunk az 1/a vagy pedig az 1/b ábrához, hogy az OAOOB∢ nagyobb-e, vagy pedig kisebb, mint 90∘.

 
 
1.a ábra
 

 
 
1.b ábra
 

Ismeretes, hogy hegyesszögű háromszög magasságai belső, oldalai pedig külső szögfelezők a talpponti háromszögben. Ennek megfelelően az OAOOB∢<90∘ esetében szerkesztett ABC háromszög nem megoldása feladatunknak, ekkor O a C -vel szemközti oldalt kívülről érintő hozzáírt kör középpontja lesz.
A feladatnak tehát akkor és csak akkor létezik megoldása, ha 90∘<OAOOB∢<180∘, és ilyenkor pontosan egy megoldás van.