|
Feladat: |
Gy.2417 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: nehéz |
Megoldó(k): |
Balogh 171 J. , Beke T. , Benkő D. , Benkő P. , Bukszár J. , Buttyán L. , Csirik J. , Csordás Z. , Farkas J. , Hajnal Z. , Károlyi A. , Károlyi Gy. , Kecskés K. , Keleti T. , Kondacs A. , Lois L. , Macskási Zs. , Máté N. , Mekis A. , Mezei J. , Németh G. , Peller Z. , Péter I. , Pór A. , Rockenbauer E. , Sustik M. , Szabó T. , Tavaszi G. |
Füzet: |
1987/december,
453 - 455. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Indirekt bizonyítási mód, "a" alapú számrendszer (a >1, egész szám), Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1987/május: Gy.2417 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Először megmutatjuk, hogy minden pozitív egész szám legfeljebb egyféleképpen állhat elő a kívánt alakban. Ha egy számnak volna két különböző | | (3) | előállítása ( vagy esetleg 0), akkor legyen a legnagyobb index, melyre . (3) átrendezéséből | | A feltételek miatt tehát
ami ellentmondás. A továbbiakban bebizonyítjuk, hogy minden pozitív szám elő is áll a keresett alakban, amihez elegendő megmutatni, hogy tetszőleges -ra minden !-nál kisebb szám előállítható. Tekintsük a | | halmazt. Ennek minden eleme 0 és között van. Minden egyes egymástól függetlenül különböző értéket vehet fel, így -nak eleme van, s az előbb igazolt egyértelműség miatt ezek mind különbözők. Mivel 0-tól -ig éppen darab szám van, tehát s ezzel az állítást beláttuk.
Megjegyzések: 1. Az egyértelműség természetesen úgy értendő a feladatban, ahogyan azt számrendszerek esetében megszoktuk, tehát a felesleges "vezető'' 0 számjegyektől eltekintünk. Egész szigorúan véve (3)-ban nem lett volna szabad a két különböző felírást azonos hosszúságúnak tekinteni, de nullákkal kiegészítve ez nyilván mindig feltehető. 2. Természetesen konstruktív úton is elő lehet állítani egy adott szám "számjegyeit'': Legyen a legnagyobb olyan szám, melyre Osszuk el -t !-sal maradékosan, azaz legyen ahol választása szerint Most -t osszuk el !-sal s í. t.
Így valóban megkapjuk az "számjegyeket''. Sokan nem utaltak azonban arra, hogy Mások pedig a maradékos osztás egyértelműségére hivatkoztak az előállítás egyértelműségének "bizonyításakor'', ami pedig nem elegendő. 3. El lehet kezdeni az -k meghatározását a másik irányból is: -t osszuk el maradékosan 2-vel, majd a hányadost 3-mal, s í. t.:
Nyilván és legyen Könnyen igazolható, hogy az így kapott számok megfelelnek. Itt sem elegendő azonban a maradékos osztás egyértelműségére hivatkozni; ki kell egészíteni azzal, hogy | | miatt szükségképpen A-nak 2-vel való osztási maradéka (hiszen páros), szükségképpen -nek 3-mal vett osztási maradéka, s í. t. 4. A feladatban kimondott tétel tovább általánosítható a következő formában: Adott egynél nagyobb egészek mellett minden pozitív egész szám egyértelműen áll elő | | alakban, ahol 5. Igaz az is, hogy minden 0 és 1 közötti racionális szám egyértelműen áll elő alakban, ahol egész, Ez azt is mutatja, hogy a faktoriális alapú számrendszerben pontosan azok a számok racionálisak, amelyek véges sok "jeggyel'' felírhatók (szemben a végtelen tizedestört alakú racionális számokkal a tízes számrendszerben). |
|