Kezdőlap


Feladat:	Gy.2416	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1987/december, 453. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Magasabb fokú diofantikus egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/május: Gy.2416

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ha $2^{n} + 1 = a^{k},$ akkor a bal oldal páratlan és így $a$ is az. Mindkét oldalból 1-et kivonva a jobb oldal az ismert azonosság szerint szorzattá alakítható :

\begin{matrix} 2^{n} = a^{k} - 1 = (a - 1) (a^{k - 1} + a^{k - 2} + ... + a + 1) . \end{matrix}

A kapott összefüggés szerint egy 2-hatványt pozitív egész számok szorzataként írtunk fel. A számelmélet alaptétele szerint ez csak úgy lehetséges, ha maguk a tényezők is 2-hatványok. Mint láttuk, az

a

páratlan, a jobb oldal második tényezője tehát

k

darab páratlan szám összegeként ugyanazt a maradékot adja 2-vel osztva, mint a

k

. Ez a tényező a feltétel szerint nagyobb az egyetlen páratlan 2-hatványnál, az 1-nél, így ha 2-hatvány, akkor a

k

-nak párosnak kell lennie. Az

a^{k}

tehát négyzetszám,

a^{\frac{k}{2}} = b

-nek a négyzete.
Egyenletünk ekkor a lényegesen egyszerűbb

\begin{matrix} 2^{n} + 1 = b^{2} \end{matrix}

alakot ölti, ahol

b

páratlan. Ismét szorzattá alakítva

\begin{matrix} 2^{n} = (b - 1) (b + 1), \end{matrix}

azaz korábbi meggondolásunk szerint

b - 1

és

b + 1

is a 2 hatványai. Mivel 2-hatványok különbsége osztható a kisebbikkel, a

(b - 1)

olyan páros 2-hatvány, amely a 2-nek osztója: ez csak a

b - 1 = 2

esetben lehetséges.
Ekkor

b = 3, b^{2} = 9,

ami

2^{3} + 1

alakú, így a feladatnak ‐ az egyetlen ‐ megoldását kapjuk.
A

2^{n} + 1

tehát csak az

n = 3

esetben lesz egy pozitív egész szám ‐ a 3 ‐ egynél nagyobb egész kitevőjű hatványa.