Kezdőlap


Feladat:	Gy.2413	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1988/január, 21 - 22. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Kocka, Kombinatorikus geometria térben, Térfogat, Tetraéderek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/április: Gy.2413

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Legyen a kocka két szemközti lapja $A B C D$ és $A' B' C' D'$ , a kocka élhosszát pedig válasszuk egységnek. A test öt csúcsa közül legalább három a kockának ugyanazon a lapján helyezkedik el. Az általánosság megszorítása nélkül feltehetjük, hogy ez a három csúcs az $A$ , $B$ és a $C$ . A másik két csúcs elhelyezkedésétől függően több esetet kell megkülönböztetnünk.

1. ábra

D

is csúcsa a testnek, akkor

A'

B'

C'

vagy

D'

bármelyikét választjuk ötödiknek, egy négyzet alapú gúlát kapunk (1. ábra), melynek magassága a kocka élével egyenlő, tehát a térfogata

\frac{1 \cdot 1 \cdot 1}{3}

, a kocka térfogatának harmada.

2. ábra

D

nincs a kiválasztott csúcsok közt, akkor

A'

B'

C'

D',

közül kettőt választottunk. Ha

D'

nincs köztük, akkor vagy van olyan lap, amelynek mind a négy csúcsát kiválasztottuk, és így az előbb kapott négyzet alapú gúlához jutunk vagy az

A'

C'

csúcsokat választottuk (2. ábra). Ez a test egybevágó azzal a két másikkal, amelynek

A'

és

D'

, illetve

C'

és

D'

a fedőlapon lévő csúcsai. Vizsgáljuk például az

A B C A' C'

testet (2. ábra). Az

A

C

C'

A'

pontok egy síkban vannak, egy téglalap négy csúcsát alkotják, maga a test téglalap alapú gúla. Az ötödik csúcs távolsága az alaplaptól a kocka lapátlójának a felével egyenlő, ezért a gúla térfogata:

\frac{1}{3} (\sqrt[]{2} \cdot 1 \cdot \frac{\sqrt[]{2}}{2}) = \frac{1}{3}

, vagyis szintén a kocka térfogatának harmada.

3. ábra

Egy esetet kell még megvizsgálnunk, amikor

A

B

C

D'

és

B'

(3. ábra) a kiválasztott csúcsok. Ekkor a test két, az

A C B'

háromszöglap mentén összeillesztett tetraéderből áll. A

B D'

egyenes merőleges az

A C B'

háromszög síkjára, tehát a két tetraéder

A C B'

lapjához tartozó magasságának összege éppen

B D' = \sqrt[]{3}

, a kocka testátlója. Az

A C B'

háromszög mindhárom oldala lapátló, tehát területe

{(\sqrt[]{2})}^{2} \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{4} = \frac{\sqrt[]{3}}{2}

. A két tetraéder együttes térfogata így

\frac{1}{3} \cdot \frac{\sqrt[]{3}}{2} \cdot \sqrt[]{3} = \frac{1}{2}

, azaz a kocka térfogatának fele.

Az öt csúcs által meghatározott test térfogata tehát a kocka térfogatának a fele vagy a harmada.