A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy a feltétel éppen a derékszögű háromszögekre teljesül. Eközben felhasználjuk a következő két, nyilvánvaló állítást :
A magasságszakasz felezőpontja rajta van a magasságra merőleges középvonal egyenesén.
Ha egy egyenes nem megy át egy adott háromszög egyik csúcsán sem, akkor a háromszög oldalai közül páros sokat metsz belső pontban, tehát vagy kettőt, vagy pedig egyet sem (1. ábra).
1. ábra A megoldásra térve legyen először az háromszög csúcsánál derékszög. Ekkor az és az befogók egyúttal magasságok is. A felezőpontjukat összekötő egyenes éppen a oldallal párhuzamos középvonal, ezen pedig a állítás miatt rajta van az csúcsból induló magasságszakasz felezőpontja is (2. ábra). Derékszögű háromszög magasságszakaszainak felezőpontjai tehát valóban egy egyenesen vannak.
2. ábra Most belátjuk, hogy hegyes- vagy tompaszögű háromszögre a feltétel nem teljesül. Ha a háromszög hegyesszögű, akkor mindhárom magasságszakasz a háromszög belsejében van, így a három felezőpont a középvonalháromszög egy-egy oldalának belső pontja. Ha ezek egy egyenesen volnának, akkor ez az egyenes a középvonalháromszögnek három oldalát metszené belső pontban, ami miatt lehetetlen. Ha a háromszög tompaszögű, akkor két magasságszakasz a háromszögön kívül, egy pedig azon belül halad. A három felezőpont közül ezért kettő a középvonalháromszög egy-egy oldalegyenesén, de az oldalszakaszon kívül, egy pedig a harmadik oldalszakaszon belül található. Ha tehát a három felezőpont egy egyenesen volna, akkor ez az egyenes a középvonalháromszögnek pontosan egy oldalát metszené belső pontban, ami miatt ismét nem lehet. Ezzel állításunkat beláttuk.
|