| Feladat: | Gy.2411 | Korcsoport: 14-15 | Nehézségi fok: nehéz |
| Füzet: | 1988/január, 20 - 21. oldal |  PDF | MathML |
|
| Témakör(ök): | Derékszögű háromszögek geometriája, Középvonal, Magasságvonal, Gyakorlat | ||
| Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1987/április: Gy.2411 | ||
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Megmutatjuk, hogy a feltétel éppen a derékszögű háromszögekre teljesül. Eközben felhasználjuk a következő két, nyilvánvaló állítást : A magasságszakasz felezőpontja rajta van a magasságra merőleges középvonal egyenesén. Ha egy egyenes nem megy át egy adott háromszög egyik csúcsán sem, akkor a háromszög oldalai közül páros sokat metsz belső pontban, tehát vagy kettőt, vagy pedig egyet sem (1. ábra).  A megoldásra térve legyen először az háromszög csúcsánál derékszög. Ekkor az és az befogók egyúttal magasságok is. A felezőpontjukat összekötő egyenes éppen a oldallal párhuzamos középvonal, ezen pedig a állítás miatt rajta van az csúcsból induló magasságszakasz felezőpontja is (2. ábra). Derékszögű háromszög magasságszakaszainak felezőpontjai tehát valóban egy egyenesen vannak.  Most belátjuk, hogy hegyes- vagy tompaszögű háromszögre a feltétel nem teljesül. Ha a háromszög hegyesszögű, akkor mindhárom magasságszakasz a háromszög belsejében van, így a három felezőpont a középvonalháromszög egy-egy oldalának belső pontja. Ha ezek egy egyenesen volnának, akkor ez az egyenes a középvonalháromszögnek három oldalát metszené belső pontban, ami miatt lehetetlen. Ha a háromszög tompaszögű, akkor két magasságszakasz a háromszögön kívül, egy pedig azon belül halad. A három felezőpont közül ezért kettő a középvonalháromszög egy-egy oldalegyenesén, de az oldalszakaszon kívül, egy pedig a harmadik oldalszakaszon belül található. Ha tehát a három felezőpont egy egyenesen volna, akkor ez az egyenes a középvonalháromszögnek pontosan egy oldalát metszené belső pontban, ami miatt ismét nem lehet. Ezzel állításunkat beláttuk. |