|
Feladat: |
Gy.2409 |
Korcsoport: 16-17 |
Nehézségi fok: átlagos |
Megoldó(k): |
Apáti Mónika , Aranyi F. , Balogh 171 J. , Beke T. , Benczúr P. , Benkő D. , Binder Zsuzsanna , Csanádi P. , Csirik J. , Fejérdy Zsófia , Figeczky G. , Györki M. , Hahn Zsuzsa , Hajnal Z. , Imreh Cs. , Jalsovszky P. , Károlyi A. , Keleti T. , Kondacs A. , Kozma K. , Kullman T. , Lois L. , Mikusi Cs. , Novák Vera , Pór A. , Siklér F. , Sustik M. , Temesvári Anikó , Toronyi L. , Weisz Cs. , Zerkovitz Zsuzsanna |
Füzet: |
1988/január,
16 - 18. oldal |
PDF | MathML |
Témakör(ök): |
Permutációk, Klasszikus valószínűség, Gyakorlat |
Hivatkozás(ok): | Feladatok: 1987/április: Gy.2409 |
|
A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. megoldás. Számozzuk meg a perselyeket, illetve a hozzájuk illő kulcsokat 1-től 30-ig, ezután helyezzük el a kulcsokat a zárt perselyekben, majd állítsuk sorba a perselyeket. A feltétel szerint ekkor a 30 kulcsnak -féle egyenlően valószínű sorrendje lehetséges. Minden egyes sorrendnek a kulcsok egy részének a kihúzási sorrendje felel meg, nekünk azoknak a sorrendeknek a számára van szükségünk, amikor valamennyi perselyt fel tudjuk nyitni, tehát az összes kulcsot kihúztuk. Egy adott elhelyezés esetén pontosan akkor akadunk el, ha már nyitva van az a persely, amelynek a kulcsa éppen a kezünkbe került. Maga a kulcs ekkor csak az 1-es számú, feltört persely kulcsa lehet, hiszen erőszakoskodás nélkül felnyitott persely kulcsa nem lehet későbbi perselyben. Amennyiben tehát valamennyi perselyt fel tudjuk nyitni, akkor harmincadiknak az 1-es számú, feltört persely kulcsát húzzuk ki. Hívjuk a kulcsok ilyen sorrendjeit a perselyekben jó sorrendnek. Mármost a kulcsok minden lehetséges kihúzási sorrendjének ‐ ahol tehát ‐ megfeleltethető a kulcsoknak egy olyan jó sorrendje a perselyekben, melynek során éppen az sorrendben férünk hozzá a kulcsokhoz. Nyilván | |
Az megfeleltetés jól láthatóan kölcsönösen egyértelműen képezi le az -gyel végződő permutációk halmazát a jó sorrendek halmazára, így éppen annyi jó sorrend van, mint ahányféleképpen sorba rakhatjuk a darab kulcsot úgy, hogy az -es számú álljon az utolsó helyen. Mivel pedig az ilyen sorrendek száma éppen !, a keresett valószínűség . A második esetben, amikor kezdetben két perselyt törünk föl ‐ föltehető, hogy ezek az -es és a -es sorszámúak ‐ éppen azok a kihúzási sorrendek valósíthatók meg, amikor az -es, vagy pedig a -es számú kulcsot húzzuk ki utoljára, harmincadiknak. Az előzőekhez hasonlóan az ilyen sorrendeknek most is kölcsönösen egyértelműen felel meg egy és csak egy megfelelő elhelyezése a kulcsoknak, így ez utóbbiak száma most . Két feltört persely esetén tehát érték adódik a keresett valószínűségre.
II. megoldás. Belátjuk, hogy ha persely közül darabot törünk föl kezdetben , akkor annak a valószínűsége, hogy ezután már valamennyi perselyt fel tudjuk nyitni. Jelölje ennek az eseménynek a valószínűségét . Nyilvánvaló, hogy . Legyen most és tekintsük az -edik perselyt. Ha ez a saját kulcsát tartalmazza ‐ ennek a valószínűsége ‐ akkor ehhez a perselyhez nem tudunk hozzáférni. Ha az -edik persely az -edik kulcsot tartalmazza, az -edik persely kulcsa pedig a -edik perselyben van (, ), akkor ez az elrendezés pontosan akkor nyitható fel, ha ez igaz arra az perselyre is, ahol az -edik kulcsa a -edik perselyben van. Mivel ennek a valószínűsége, így
valóban. |
|