Kezdőlap


Feladat:	Gy.2407	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: könnyű
Megoldó(k):	Csirik János
Füzet:	1988/január, 15 - 16. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenlőtlenségek, Szélsőérték-feladatok differenciálszámítás nélkül, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/április: Gy.2407

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Az öt háromtagú összeg összege nyilván nem lehet nagyobb, mint $5 M$ . Összevonás után ez az összeg az

\begin{matrix} S = 3 (a_{1} + a_{2} + ... + a_{7}) - a_{1} - (a_{1} + a_{2}) - (a_{6} + a_{7}) - a_{7} \end{matrix}

alakba írható. Mivel számaink nem negatívak, a kivonandó mennyiségek egyike sem nagyobb, mint

M

, így

S ≧ 3 - 4 M

.
A kapott

5 M ≧ S ≧ 3 - 4 M

feltételből

M ≧ \frac{1}{3}

, az egyenlőséghez pedig

a_{1} = a_{1} + a_{2} = a_{6} + a_{7} = a_{7} = \frac{1}{3}

, azaz

a_{1} = a_{7} = \frac{1}{3}

a_{2} = a_{6} = 0

szükséges. Ha a további három szám közül

a_{3}

és

a_{5}

értékét

0

-nak,

a_{4}

értékét pedig ugyancsak

\frac{1}{3}

-nak választjuk, akkor e hét szám összege

1

, és mind az öt háromtagú összeg, tehát

M

értéke is

\frac{1}{3}

.
Az

M

legkisebb értéke tehát

\frac{1}{3}

II. megoldás. Az öt háromtagú összeg egyike sem nagyobb

M

-nél, ezért közülük az elsőt, negyediket és ötödiket összeadva nem kaphatunk

3 M

-nél nagyobb értéket. Összevonás után kapjuk, hogy

\begin{matrix} (a_{1} + a_{2} + ... + a_{7}) + (a_{5} + a_{6}) ≦ 3 M, \end{matrix}

ahonnan, felhasználva, hogy a hét szám összege

1

, illetve hogy

a_{5} + a_{6} ≧ 0

\begin{matrix} 1 ≦ 3 M, azaz \frac{1}{3} ≦ M \end{matrix}

adódik. Az egyenlőséghez most

a_{5} = a_{6} = 0

szükséges, ahonnan tovább haladva az első megoldásban kapott hét értéket kapjuk.

Csirik János (Szeged, Ságvári E. Gyak. Gimn., I. o. t.)

Megjegyzés. Ugyancsak Csirik Jánostól származik a feladat alábbi általánosítása. Ha

n

darab nem negatív szám összege

1

, az összeadandó szomszédos elemek száma

k

(0 < k ≦ n)

és az

a_{1} + a_{2} + ... + a_{k}

a_{2} + ... + a_{k + 1}

...

a_{n - k + 1} + ... + a_{n}

összegek maximumának

M

minimumát keressük, akkor

M = \frac{1}{⌈ \frac{n}{k} ⌉}

, ahol

⌈ x ⌉

, az

x

"felső egész része'' az

x

-nél nem kisebb egészek legkisebbikét jelöli.

(A feladatban n = 7, k = 3, ⌈ \frac{n}{k} ⌉ = 3.)

m = ⌈ \frac{n}{k} ⌉

, akkor

M = \frac{1}{m}

, ha például

a_{1} = a_{k + 1} = ... = a_{(m - 1) k + 1} = \frac{1}{m}

, a többi

a_{i}

pedig

0