Kezdőlap


Feladat:	Gy.2406	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: átlagos
Füzet:	1987/december, 451. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nevezetes azonosságok, Másodfokú diofantikus egyenletek, Másodfokú (és arra visszavezethető) egyenletek, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/április: Gy.2406

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Szorozzuk meg az egyenlet mindkét oldalát 20-szal. Így kapjuk, hogy

\begin{matrix} 100 x^{2} + 100 x y + 100 y^{2} = 140 (x + 2 y), \end{matrix}

ahonnan rendezés után

\begin{matrix} 25 {(x + 2 y)}^{2} - 2 \cdot 14 [5 (x + 2 y)] + 75 x^{2} = 0, \end{matrix}

azaz

\begin{matrix} {[5 (x + 2 y) - 14]}^{2} + 75 x^{2} = 14^{2} \end{matrix}

(1)

adódik.

(1) szerint

75 x^{2} ≦ 14^{2},

hiszen az összeg másik tagja négyzetszám, és így nem negatív. Mivel

x

egész, ez csak úgy lehet, ha

| x | ≦ 1,

azaz

x

lehetséges értékei

- 1

0

és

1

.
A behelyettesítés után

y

-ra kapott másodfokú egyenletek mindegyikének egyik gyöke egész, a másik nem az, és mivel lépéseink megfordíthatók, az egyenletnek három megoldása van az egész számok körében. Ezek

\begin{matrix} x_{1} & = - 1, & y_{1} & = 3; \\ x_{2} & = 0, & y_{2} & = 0; \\ x_{3} & = 1, & y_{3} & = 2. \end{matrix}

Megjegyzés. Másképpen is eljuthatunk a megoldáshoz, ha az adott kétváltozós polinomot az egyik változó ‐ pl. az

y

─ hatványai szerint rendezve, felírjuk a kapott paraméteres egyenlet diszkriminánsát. Mivel az egyenlet egész gyökeit keressük,

D = 196 - 75 x^{2}

teljes négyzet, ami csak akkor teljesül, ha

x = - 1, 0

vagy

1

, és a megfelelő

y

értékek közül egy-egy mindhárom esetben egésznek adódik.