A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Legyen az szakasz azon pontja, melyre (1. ábra). Ekkor a és az háromszögek egybevágóak, mert megegyezik két-két oldaluk és valamint az általuk bezárt szög mert mindkettő az ívhez tartozó kerületi szög). Tehát , az háromszög egyenlő szárú, ezért az -ből induló magasság talppontja felezi az szakaszt.
1. ábra Ezek után a bizonyítandó állítás már könnyen adódik:
Megjegyzés. A feladatra sokféle megoldás adható, az alábbiakban öt további lehetőséget vázolunk, végiggondolásukat az olvasóra hagyva. I. vázlat. Forgassuk el a húrt a kör középpontja körül pozitív irányba úgy, hogy a pont az -be kerüljön (2. ábra), és legyen eközben az pont képe . Ekkor az és az húrok párhuzamosak , ahonnan a szimmetria miatti egyenlőségek fölhasználásával a bizonyítandó állítást kapjuk.
2. ábra II. vázlat. Ha jelöli az és a kör második metszéspontját és a -ben metszi -et (3. ábra), akkor az -nél létrejövő egyíves szögek egyenlősége miatt egyenlő száru háromszög. Könnyen látható,hogy az , illetve a csúcsú kétíves szögek is egyenlők ( húrnégyszög), és ezután és felhasználásával adódik az állítás.
3. ábra III. vázlat. "Hajtsuk ki'' az töröttvonalat az szakasszá a 4. ábra szerint. Ekkor -et kell igazolnunk, hisz ekkor felezi -t.
4. ábra Thalész tétele szerint az -re -ben állított merőleges a ív felezőpontjában metszi a kört, és így felezi az szöget. Az így ennek külső szögét, a szöget felezi, tehát miatt azaz miatt valóban IV. vázlat. Az pontból a egyenesre bocsátott merőleges talppontját -vel jelölve könnyen kapjuk, hogy egybevágók az és a illetve az és az derékszögű háromszögek (5. ábra), ahonnan a bizonyítandó állítás már következik.
5. ábra
6. ábra V. vázlat. Feltéve, hogy a kör sugara egységnyi, a 6. ábrán látható , , szögek felhasználásával kapjuk, hogy és Innen egyszerű számolással adódik a bizonyítandó állítás. |