Feladat: Gy.2401 Korcsoport: 16-17 Nehézségi fok: átlagos
Megoldó(k):  Antos A. ,  Balogh 171 J. ,  Benczúr P. ,  Benkő D. ,  Biró A. ,  Buttyán L. ,  Fejérdy Zsófia ,  Fleiner T. ,  Gerlits F. ,  Győrváry Zs. ,  Héray A. ,  Hídvégi Z. ,  Károlyi A. ,  Knezsek Gy. ,  Kondacs A. ,  Kozma K. ,  Lois L. ,  Mohácsi P. ,  Németh 026 L. ,  Novák Vera ,  Pásztor 623 G. ,  Peták A. ,  Pór A. ,  Somfai E. ,  Sustik M. ,  Szabó 713 D. ,  Szilágyi B. ,  Tikk Ilona ,  Weisz Z. ,  Zimmer A. 
Füzet: 1987/december, 448 - 449. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Függvényegyenletek, Konstruktív megoldási módszer, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):Feladatok: 1987/március: Gy.2401

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ilyen f függvény létezik, egy ilyet a következő lépésekben szerkeszthetünk meg :
Legyen az f páratlan, azaz minden x -re f(-x)=-f(x). Így f(0)=0, és elegendő a függvényt a pozitív számokon megadnunk.
Legyen továbbá f(1n)=n+1, ha n≧1 egész, és f(m)=-1m-1, ha m≧2 egész. Ezzel f -et a pozitív egészek és azok reciprokai halmazán is értelmeztük, és az is látszik, hogy ezen a halmazon f rendelkezik az előírt tulajdonsággal.
Végül az ezektől különböző pozitív számokra legyen f(x)=1x, ha x>1 és
f(x)=-1x, ha 0<x<1.
Az f függvényt így minden valós számra értelmeztük, és látható, hogy rendelkezik az előírt tulajdonsággal.

 

Megjegyzések. 1. Megmutatjuk, hogyan adható meg valamennyi olyan f függvény, amelyre fennáll az f(f(x))=-x összefüggés.
A feltételből f(f(f(x)))=f(-x) következik, a bal oldal pedig ugyancsak a feltétel szerint -f(x)-szel egyenlő, így minden megfelelő függvény páratlan.
 
 

Ha f(u)=u, akkor f(f(u))=f(u) is igaz, és az utóbbi egyenlőség bal oldalán -u áll, vagyis u=-u, tehát u=0. A 0-tól különböző számokra tehát a helyettesített érték és a függvényérték nem lehet egyenlő.
Ha f(u)=0, akkor 0=f(0)=f(f(u))=-u, tehát a függvény csak a 0-hoz rendel 0-t.
Vegyük észre, hogy ha f(u)=v értéke adott, akkor a feltétel a függvényt a v, -u és a -v helyeken is meghatározza: f(v)=-u, f(-u)=-v és f(-v)=u. Megfordítva, ha az u és v számok egymástól és a 0-tól is különböznek, akkor az {u,v,-u,-v} számhalmazon a fenti egyenlőségekkel értelmezett f függvény rendelkezik az előírt tulajdonsággal. Miután pedig az f "nem vezet'' ki a fenti számnégyesből, másutt semmilyen megszorítást nem jelent az f(u)=v választás.
Ez azt jelenti, hogy ha a 0-tól különböző valós számokat {u,v,-u,-v} alakú négyesekre osztjuk, és az egyes négyeseken belül f -et a fenti egyenlőségekkel adjuk meg, f(0) értékét pedig 0-nak választjuk, akkor megfelelő függvényt kapunk, és megfordítva, minden megfelelő függvény megkapható ezen a módon.
A felosztáshoz nyilván a pozitív számokat kell párokba rendeznünk. A megoldásban adott függvény a kézenfekvő x↔1x párosítás módosításával jött létre, mert el kellett kerülnünk, hogy az 1 saját magának legyen a párja. A párosítás így a következő:
1↔2,12↔3,x↔1x.⋮1n↔n+1,

Nyilván végtelen sok lehetőség van, a beküldött dolgozatok nagy részében az {x↔x+1,[x]páros} megfeleltetés szerepelt.
2. A feladat csak annyit kérdezett, létezik-e az adott tulajdonságú f függvény. Mint láttuk, ez azon múlik, hogy a pozitív valós számok halmaza párokba rendezhető. Ezt úgy a legkönnyebb megmutatni, ha megadunk egy ilyen elrendezést és ezzel természetesen magát a függvényt is. Ha csupán annyit akarnánk bizonyítani, hogy ilyen felosztás létezik, akkor a végtelen halmazok tulajdonságainak alaposabb ismeretére volna szükségünk.