Kezdőlap


Feladat:	Gy.2400	Korcsoport: 16-17	Nehézségi fok: nehéz
Füzet:	1988/február, 67 - 69. oldal		PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyenletek grafikus megoldása, Mozgással kapcsolatos szöveges feladatok, Gyakorlat
Hivatkozás(ok):	Feladatok: 1987/március: Gy.2400

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

I. megoldás. Jelölje a négy jármű sebességét rendre $v_{A}$ , $v_{R}$ , $v_{M}$ és $v_{K}$ . (Az indexek a megfelelő járművek nevének kezdőbetűi.) A feladat szövege szerint az $A utó$ és a $R obogó$ egy irányban haladnak, a $M otor$ és a $K erékpár$ pedig velük szemben. Legyen még $d_{1}$ és $d_{2}$ a Kerékpár, illetve a Motor távolsága az Autótól $12$ órakor, és jelölje $12 + t$ a Kerékpár és a Robogó találkozásának keresett időpontját (1. ábra). A feladat szövege szerint $v_{A} > v_{R}$ és $d_{2} > d_{1}$ .

1. ábra

Írjuk föl az egyes járművek találkozásából kapható egyenleteket.
Autó-Kerékpár

14^{h} :

\begin{matrix} d_{1} = 2 (v_{A} + v_{K}); \end{matrix}

(1)

Autó-Motor

16^{h} :

\begin{matrix} d_{2} = 4 (v_{A} + v_{M}); \end{matrix}

(2)

Robogó-Motor

17^{h} :

\begin{matrix} d_{2} = 5 (v_{R} + v_{M}); \end{matrix}

(3)

Motor-Kerékpár

18^{h} :

\begin{matrix} d_{2} - d_{1} = 6 (v_{M} - v_{K}); \end{matrix}

(4)

Robogó-Kerékpár

{(12 + t)}^{h} :

\begin{matrix} d_{1} = t (v_{R} + v_{K}) . \end{matrix}

(5)

(2)-ből (1) kétszeresét levonva kapjuk, hogy

\begin{matrix} d_{2} - 2 d_{1} = 4 (v_{M} - v_{K}), \end{matrix}

ami (4) szerint éppen

\frac{2}{3} (d_{2} - d_{1})

A kapott

\begin{matrix} d_{2} - 2 d_{1} = \frac{2}{3} (d_{2} - d_{1}) \end{matrix}

egyenletből

d_{2} = 4 d_{1}

adódik. Ennek alapján (3)-ból és (4)-ből most az alábbi egyenletet kapjuk:

\begin{matrix} 4 d_{1} = 5 (v_{R} + v_{M}); \end{matrix}

(3')

\begin{matrix} (d_{2} - d_{1}) : 3 = d_{1} = 2 (v_{M} - v_{K}) . \end{matrix}

(4')

Ha (

3'

) kétszereséből levonjuk (

4'

) ötszörösét, akkor a

\begin{matrix} 3 d_{1} = 10 (v_{R} + v_{K}) \end{matrix}

egyenletet kapjuk, ahonnan

\begin{matrix} d_{1} = \frac{10}{3} (v_{R} + v_{K}) . \end{matrix}

Ezt (5)-tel egybevetve

t = \frac{10}{3}

, tehát a Kerékpár és a Robogó

\frac{10}{3}

órával

12

óra után után, azaz

15

óra

20

perckor találkozott.

II. megoldás. A következő grafikus megoldásban nem lesz szükségünk arra, hogy az "utolérte'', "találkozott'' szavakból következtetést vonjunk le a szóban forgó két jármű mozgási irányának egyező vagy ellentétes voltáról, más szóval, hogy sebességüknek előjelet is tulajdonítsunk. Mindkét kifejezést így értelmezzük: az

X

és az

Y

jármű a

T

időpontban az útvonalnak ugyanazon pontján volt, a mozgásukat ábrázoló vonalak

X_{T}

, illetve

Y_{T}

pontja egybeesik.
További egyszerűsítést jelent, ha az eseményeket az egyenletes sebességgel mozgó Autóból figyelve ábrázoljuk ‐ mintha az állna. A járművek mozgását ekkor továbbra is egyenes vonalak ábrázolják az idő ‐ út koordinátarendszerben, melynek origója az egybeeső

A_{12} = R_{12}

pont (2. ábra). Ekkor az idő-tengely ábrázolja az Autó "mozgását'', rajta pedig a

K_{14}

és az

M_{16}

pontok a Kerékpár és a Motor találkozását az Autóval. Így mind a három további jármű mozgási grafikonján ismerünk egy-egy pontot.

2. ábra

Válasszuk meg a távolságegységet úgy, hogy a Motor és a Kerékpár

18

órakor bekövetkezett találkozására az Autótól egységnyi távolságra kerüljön sor. Ez nyilván megtehető, hiszen ez a távolság nem lehet nulla, mert akkor a négy grafikon egybeesne, a járművek együtt haladnának. Hogy ez a távolság pozitív-e, vagy sem, az kizárólag attól függ, hogy az Autóban milyen irányba nézve figyeljük a többi jármű mozgását. Válasszuk megfigyelőnk menetirányát úgy, hogy ez a távolság pozitív legyen. Így kapjuk a

t = 18

órás egyenesen az

M_{18} \equiv K_{18}

pontot.
Most már a három további jármű grafikonja is meghatározott. A Motorét és a Kerékpárét két-két pontja (

M_{16}

és

M_{18}

, illetve

K_{14}

és

K_{18}

) révén kapjuk. Ezután a

t = 17

órás egyenes kimetszi a Motor mozgását leíró

M_{16} M_{18}

egyenesből az

M_{17} = R_{17}

pontot, és így az

R_{12} (\equiv A_{12})

és az

R_{17} (\equiv M_{17})

pontok a Robogó grafikonját is megadják.
A

K_{T} \equiv R_{T}

‐ tehát a

K_{14} K_{18}

és az

R_{12} R_{17}

egyenesek metszéspontja ‐ ábrázolja a Kerékpár és a Robogó találkozásának időpontját és helyét. Az

R_{12} M_{16} K_{18}

háromszögben

R_{12} R_{17}

és

K_{18} K_{14}

egyaránt súlyvonal, a

K_{T}

pont tehát ennek a háromszögnek a súlypontja, abszcisszája, a keresett

T

érték így a csúcsok abszcisszáinak számtani közepe,

T = (12 + 16 + 18) : 3 = 15 \frac{1}{3} .